Саржанов Т.С.

Казахский университет путей сообщения

МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ БЕССТЫКОВОГО ПУТИ

 

Первые методы оценки устойчивости пути с длинными рельсами появи­лись еще в XIX веке. Они отражали лишь какой-то определенный этап работы конструкции, который был исследован разработчиками опытным путем. После появления бесстыкового пути со сварными стыками возникла не­обходимость разработки теории его работы, которая бы реально отражала его состояние в процессе эксплуатации.

Начало теоретических исследований устойчивости бесстыкового пути относится к 1913 г. В последующие годы были созданы разные варианты методов расчета величин продольных критических сил в рельсах: энергетический, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений и др. Значительный вклад в решение этих вопросов внесли российские ученые: В.Г. Альбрехт, М.С. Боченков, Е.М. Бромберг, М.Ф. Вериго, Н.П. Виногоров, В.А. Грищенко, Н.Б. Зверев, Э.П. Исаенко, Н.И. Карпущенко, С.И. Клинов, А.Я. Коган, А.А. Кривобородов, К.Н. Мищенко, С.И. Морозов, В.И. Новакович, С.П. Першин и другие, а так же зарубежные ученые: О. Амман, М. Балух, К. Грюневальдт, Д. Игнятич, Г. Майер, Нгуен Ван Туен, И. Немешди-Немшек, Э. Немежди и другие. В каждом из предложенных методов сделаны, упро­щающие расчетную схему допущения, приняты различные формы деформаций рельсов в плане до выброса, имеются различия в исходных уравнениях равно­весия и в величинах задаваемых исходных данных.

Метод дифференциальных уравнений равновесия. Данный класс методов более точен, так как уравнением упругой линии уже не задаются, а оно выводится в ходе решения и полностью соответствует схеме нагружения [1,2].

Основное дифференциальное уравнение изгиба имеет вид:

                                                                                                  (1)

Зная выражение для изгибающего момента Мх в любом сечении деформи­рованного пути, получают дифференциальное уравнение в развернутом виде. При этом по концам стержня приходится вводить опорные реакции и опорные моменты.

Методом дифференциальных уравнений пользовались многие ученые, как в России, так и за рубежом, начиная с начала XX столетия.

Р. Леви составил систему уравнений, симметричной половины волны, предполагая, что при волнообразном искривлении реакция балласта в двух крайних четвертях волны уравновешиваются реакциями двух средних четвер­тей.

                                                                           (2)

С.И. Морозов предложил расчет устойчивости бесстыкового пути, использующий дифференциальное уравнение изгиба балки:

                                (3)

где q(y), m(y') - реактивная сила и момент; у, у0 - ординаты прогиба и на­чальных неровностей оси рельсошпальной решетки.

В. И. Новакович предложил использовать элементы теории ползучести при расчетах бесстыкового пути методом дифференциальных уравнений [3].

Д. Игнятич, впервые ввел в дифференциальные уравнения устойчивости пути неравномерность распределения сил сопротивле­ния рельсошпальной решетки по длине пути, а так же учел в расчетах начальные неровности пути и неравномерность нагрева плетей [4].

Наиболее полное решение по определению устойчивости бесстыкового пути методом дифференциальных уравнений дано в работах [1,2].

В основу положена расчетная схема, изображенная на рис. 1.

Поставленная задача была решена при следующих допущениях:

1) продольные силы в обеих нитях одинаковы и постоянны N = const, ве­личина продольной силы при этом равна полусумме фактически дейст­вующих в обеих рельсовых нитях сил;

2) радиус кривизны обеих нитей один и тот же , при этом кривизна  равна полусумме кривизны наружной и внутренней нитей;

3) при деформации пути шпалы перемещаются параллельно сами себе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 - Расчетная схема пути при использовании уравнения упругой оси

 

Как следует из второго предположения, изгибающий момент и поперечная сила в обеих рельсовых нитях одинакова.

Вырежем элемент пути, размером, равным расстоянию между соседни­ми шпалами и рассмотрим его равновесие.

Составляя сумму моментов относительно точки О, получим:

                                                   (4)

где  - приращение изгибающего момента в рельсе на длине

m - момент, прикладываемый к рельсу со стороны скрепления

 - угол, стягивающий дугу

 - приращение поперечного перемещения рельса на дуге

Деля равенство (5) на величину 2 и учитывая соотношение:

                                                                                           (5)

получим равенство

                                                                               (6)

Учитывая приближенные равенства отношений приращений, и отношений дифференциалов и вводя обозначение,

                                                                                                 (7)

которое выражает тот факт, что момент m, приложенный от скрепления к рельсу, зависит от угла скручивания рельса относительно шпалы, получим:

                                                                              (8)

Составим сумму проекций сил на вертикальную ось:

                                                (9)

где  - сила, передаваемая на рельсы от шпалы

- приращение поперечной силы на дуге

Деля равенство (9) на величину 2 и учитывая соотношение:

                                                      (10)

получим

                                                                                (11)

Теперь, заменяя отношение приращений отношением дифференциалов и вводя функцию:

                                                                                                        (12)

согласно которой сила, приложенная к рельсу со стороны шпалы, зависит от перемещения, получим:

                                                                                               (13)

Дифференцируя выражение (12) и подставляя значение Q из формулы (11) получим:

                                                                  (14)

Теперь воспользуемся соотношением, определяющим момент в кривом стержне:

                                                                                 (15)

Е - модуль упругости рельсовой стали

- момент инерции рельса относительно главной вертикальной оси

- продольное перемещение сечения рельса

Вторым членом в соотношении (15) можно пренебречь в связи с его малостью. С учетом всего вышесказанного получим следующее выражение:

                                                           (16)

Кривизну рельса , представляем в виде суммы кривизны круговой кривой 1/R, (R-радиус круговой кривой) и кривизны начальной неровности пути

                                                                                                        (17)

После подстановки:  по­лучим основное уравнение устойчивости бесстыкового пути:

                                             (18)

где R - радиус кривой

r, В, b- эмпирические коэффициенты к функциям сопротивлений

Это уравнение, без учета начальных неровностей, решается следующей системой трансцендентных нелинейных уравнений:

                                                                     (19)

Данный метод позволяет определить критиче­ское состояние пути при заданных параметрах. Точность решения при исполь­зовании этого метода зависит только от точности аппроксимации коэффициен­тов к функциям различных сопротивлений.

В полном решении возможен учет начальных напряженных и ненапряжен­ных неровностей, неравномерности распределения сопротивлений по длине пу­ти (неравномерность затяжки клеммных болтов и места с оголенными концами шпал), эксцентриситет приложения продольных сил и.т.д.

 

Литература

1. Коган А. Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным соста­вом. М.: Транспорт, 1997. - 326 с.

2. Коган А.Я., Грищенко В.А. Нелинейная устойчивость бесстыкового пути в прямых участках при наихудшей форме начальной ненапряжен­ной неровности // Вестник ВНИИЖТ, 1992, №3. - С. 40-45.

3. Новакович В.И. Бесстыковой железнодорожный путь с рельсовыми плетями неограниченной длины. - Львов: Вища школа, 1984. - 98с.

4. Игнятич Д.В. Определение критической силы, деформирующей бесстыковой путь // Вестник ВНИЖТа,  №8, 1965. - С. 7-11.