Регистрационный № 60904

Математика / Дифференциальные и интегральные уравнения

Канд. физ.-мат. наук, профессор Хайруллин Е.М.

Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева,

г. Алматы, Республика Казахстан

Решение одного класса сингулярных интегральных уравнений

В работе исследуется разрешимость сингулярного интегрального уравнения (СИУ) в двумерном случае, встречающееся при решении краевых задач для параболических интегро–дифференциальных уравнений, когда краевое условие содержит производные порядка, превышающих порядок уравнения.

Рассматривается СИУ

(1)

в области

где

, (2)

- заданные постоянные; - положительная постоянная;

ядро удовлетворяет неравенству

, (3)

заданная функция и удовлетворяет неравенству

. (4)

Можно показать, что

(5)

Следует заметить, что во втором слагаемом СИУ (1) несобственный интеграл от ядра в силу оценки (3), вообще говоря, сходится неабсолютно.

Для решения уравнения (1) в классе растущих функций вида (4), рассмотрим преобразование Фурье обобщенных функций, определяемых непрерывными функционалами вида

(6)

Обозначим через совокупность всех обобщенных функций, действующих в пространстве через преобразование Фурье для функции .

В основу определения преобразования Фурье для любой обобщенной функции положим равенство

. (7)

Определенный по этой формуле функционал действует в пространстве двойственном по отношению к .

Если преобразование Фурье действует в пространстве основных функций , то по (7) имеем

, (8)

. (9)

Для решения уравнения (1) истолковываем его как уравнение относительно обобщенных функций зависящих от параметра и принадлежащих по к некоторому фиксированному пространству , которое, так же как и пространство основных функций, будет определено ниже.

Применяем к обеим частям (1) преобразование Фурье для обобщенных функций, определяемое равенством (7). С помощью (8) и (9) мы получим интегральное уравнение, действующее в пространстве :

, (10)

где

. (11)

Проблема единственности решения уравнений (1) и (10) эквивалентна в силу изоморфизма между пространствами и .

Рассмотрим уравнение (10) сначала с классической точки зрения и применим к нему операционный метод. Изображение оригинала обозначим через .

Тогда

, (12)

где .

Уравнение

(13)

будем называть характеристическим уравнением (1). Пусть корни этого уравнения с кратностью соответственно

Тогда

, (14)

где определенный коэффициент, зависящий только от

Известно [2], что

,

где

.

Отсюда

, (15)

где

. (16)

Таким образом, решение уравнения (10) можно переписать так:

, (17)

где

, (18)

причем определяется равенством (16).

Очевидно, что удовлетворяет интегральным уравнениям резольвенты ядра .

Из (11) и (16) видно, что , - целые функции относительно и их рост равен 2. Поэтому эти функции являются мультипликаторами в пространстве при .

Если - обобщенная функция, действующая в пространстве то обобщенная функция , определяемая формулой (17), действует в Поэтому, производя вычисление по параметру с помощью уравнений резольвенты ядра можно доказать, что решение уравнения (10), действующее в

Теорема единственности решения уравнения (10) очевидна, так как соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение, действующее в Если то класс основных функций, отвечающий задаче существования и единственности решения, двойственен , т.е. где

.

Функционалами на пространстве , в частности, служат все обычные функции , удовлетворяющие неравенству

, (19)

Таким образом, мы приходим к следующей теореме:

Теорема 1. Если удовлетворяет неравенству (19), то решение уравнения (1)существует в классе обобщенных функций и это решение единственно.

Если корни характеристического уравнения (13) удовлетворяют неравенству

, (20)

т.е. лежат между ветвями гиперболы на комплексной плоскости, то такие корни назовем устойчивыми.

Теперь покажем, что если корни характеристического уравнения (13) удовлетворяют неравенству (20), то решение уравнения (1) существует в классе обычных функций. Для этого предположим, что, функция принадлежит пространству относительно первого аргумента.

Применяя обычное преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1), получим уравнение (10), решение которого будет (17). Если все корни характеристического уравнения устойчивы, то применяя к из (18) обратное преобразование Фурье, будем иметь:

, (21)

где

(22)

,

причем ядро удовлетворяет следующей оценке

, (23)

положительные постоянные, .

Можно показать, что резольвента, определяемая выражением (22), удовлетворяет интегральным уравнениям

(24)

и . (25)

В силу неравенства (23) и равенства (24) нетрудно убедиться, что интеграл в формуле (21) сходится, если заданная функция удовлетворяет неравенству (4) и условию Гельдера относительно

На основании уравнения резольвенты (24), обычным способом легко убедиться, что функция , определяемая формулой (21), является решением уравнения (1). Кроме того, можно указать случай, для которого уравнение (1) не имеет решения при неустойчивости корня характеристического уравнения, например: .

Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 2. Если функция и удовлетворяет неравенству (4), то при выполнении условия разрешимости (20), существует решение СИУ (1) , определяемая формулой (21).

Литература

1. Гельфанд И.М. и Шилов Г.Е. Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши. Успехи мат.наук, 1953, т. VIII, вып.6(58)

2. Хайруллин Е.М. Об одной системе интегро-дифференциальных уравнений в классе обобщенных функций. Изв. АН Каз.ССР, Сер. Физ-мат., 1970, №5,

с. 54-59.