М.П. Ленюк, Т.М. Олійник

 

МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ – ЛЕЖАНДРА – ФУР'Є НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ СПРЯЖЕННЯ

        

         Процеси дифузії, які постійно відбуваються в навколишньому середовищі, привертають до себе увагу вчених на протязі всієї історії людства. Найпростішою математичною моделлю такого процесу є диференціальне рівняння дифузії (теплопровідності) параболічного типу [1].

                                                                  (1)

з відповідними початковою умовою та крайовими умовами.

         Потреби практики приводили до різноманітного узагальнення рівняння (1). Та в усіх випадках дифузійні процеси вивчалися в припущенні, що межа середовища жорстка по відношенню до відбиття хвиль. Різко змінюється картина дифузії, якщо межа середовища є м’якою по відношенню до відбиття хвиль (в крайових операторах та операторах спряження наявність похідної стосовно часової змінної).

         Для вивчення стану композитних матеріалів був поширеним в другій половині XX століття метод кусково-сталих фізико-технічних характеристик [2]. Це приводило до розв’язання диференціальних рівнянь із сингулярними коефіцієнтами типу дельта-функції та похідних від неї. Та одержати аналітичне зображення точного розв’язку задачі цим методом неможливо. Тому ми пропонуємо здійснювати моделювання дифузійних процесів методом гібридних диференціальних операторів.

         Побудуємо обмежений в області   розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь дифузії параболічного типу  [1]

                                                           (2)

за початковими умовами

                                         (3)

та умовами спряження

                                                    (4)

         У рівностях (2) беруть участь диференціальні оператори Бесселя  [3], Лежандра   [4], та Фур’є   [5],  .

         У рівності (4) беруть участь узагальнені диференціальні оператори спряження

        

         Будемо припускати, що виконані умови на коефіцієнти:

         Припустимо, що функції ,  та  є оригіналами за Лапласом стосовно  [6]. У зображенні за Лапласом параболічній задачі (2) – (4) відповідає крайова задача: побудувати на множині  обмежений розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Бесселя, Лежандра та Фур’є для модифікованих функцій

                                                               (5)

за умовами спряження

                             (6)

         У рівностях (5), (6) прийняті позначення:

         Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  утворюють функції  та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра  утворюють узагальнені приєднані функції Лежандра  та  [4]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є   утворюють функції  та  [5].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (6), (7) методом функцій Коші [5,7]:

                                            (7)

У рівностях (7) функції Коші [5,7]:

                                                       (8)

Тут .

         Припустимо, що функція Коші

        

         Властивості (8) дають алгебраїчну систему:

        

         Звідси отримуємо співвідношення:

                                                              (9)

         Доповнимо рівності (9) алгебраїчним рівнянням:

                                   (10)

         Із алгебраїчної системи (9), (10) знаходимо, що

        

         Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

                             (11)

         У рівності (11) беруть участь функції:

        

         Припустимо, що функція Коші

        

         Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

        

         Звідси отримаємо співвідношення:

                                            (12)

         Доповнимо рівності (12) алгебраїчними рівняннями:

                               (13)

         Із алгебраїчної системи (12), (13) знаходимо, що

                                               (14)

         Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

           (15)

         У рівностях (13)-(15) беруть участь функції:

        

         Припустимо, що функція Коші

        

         Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему

         Звідси маємо співвідношення:

                                                    (16)

         Доповнимо рівності (16) алгебраїчним рівнянням:

                                            (17)

         Із алгебраїчної системи (16), (17) знаходимо, що

        

         Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

                           (18)

         Повернемось до формул (7). Умови спряження (6) для визначення невідомих  дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                       (19)

         У системі (19) беруть участь функції

та символ Кронекера .

         Введемо до розгляду функції:

        

         Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язаності даної параболічної задачі: для  із , де  абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та  визначник алгебраїчної системи (19)

                                   (20)

         Визначимо головні розв’язки крайової задачі (5), (6):

1)     породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

                      (21)

2)     породжені неоднорідністю системи (6) функції впливу

                                          (22)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (20) та підстановки отриманих значень  у рівності (8) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (6), (7):

                          (23)

         Повертаючись в (23) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (2) – (4):

                             (24)

 дельта-функція, зосереджена в точці  [7].

         У рівностях (24) за означенням [6]

                                      (25)

                                         (26)

Особливими точками функцій Гріна  та функцій впливу  є точки галуження  та . Оскільки , то всі особливі точки знаходяться на лівій дійсній піввісі комплексної площини (). У такому випадку можна «сісти на уявну вісь» й отримати для головних розв’язків даної параболічної задачі розрахункові формули:

                                    (27)

                                       (28)

У рівностях (27), (28)  означає дійсну частину виразу .

Зауваження 1. Можна вважати, що . В протилежному випадку переходимо до нових початкових умов

        

й знаходимо числа  та  із алгебраїчної системи

                                (29)

Тут .

Зауваження 2. Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні даної задачі дифузії, можна виділити із загальних структур безпосередньо будь-який частковий (практично важливий) випадок (в рамках даної моделі).

Зауваження 3. При  одержуємо випадок, коли межі спряження є жорсткими по відношенню до відбиття хвиль.

 

Література:

 

1.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.

2.     Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.: Наук. думка, 1992. – 280с.

3.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АНУССР. Ин-т Математики; 83-3).

4.     Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера – Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

5.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

6.     Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688с.

7.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.