Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Игнатова Е.А.

Донецкий национальный университет экономики и торговли

им. М. Туган-Барановского, Украина

Новый случай интегрирования уравнений Кирхгофа-Пуассона при условиях существования линейного

инвариантного соотношения

Рассмотрим задачу об интегрировании дифференциальных уравнений

, (1)

с интегралами

, , . (2)

в случае, когда линейное инвариантное соотношение имеет вид

, (3)

где – фиксированные постоянные, – переменная составляющая момента количества движения гиростата; – единичный вектор оси симметрии силовых полей; а , , , , – описаны в работе [1]. Точка над переменными означает производную по времени .

В работе [1], на основе метода инвариантных соотношений, в предположении, что , выписаны условия существования инвариантного соотношения (3) у уравнений (1) с интегралами (2). Для интегрирования системы (1) при наличии инвариантного соотношения (3) из интегралов (2) определена зависимость и от :

((6)

где ,

, а определены в работе [1].

После замены , решение системы (1) сводится к решению следующей системы:

,	((5)
,	((6)

где - некоторые параметры, выраженные через первоначальные параметры задачи в работе [1].

В статье [1] показано, что при выполнении дополнительных условий на параметры, система (5)-(6) имеет интегрирующий множитель. Отметим, что в статье [1] проведено исследование случая , где

(7)

Исследование случая . Пусть параметр . Тогда в силу условия (7), можно найти зависимость постоянной интеграла энергии Е от постоянной интеграла площадей k и других параметров задачи:

, (8)

где выражается некоторым образом через первоначальные параметры задачи. Таким образом, постоянная Е не может быть независимой, т.е. из двух произвольных постоянных первых интегралов (2) произвольной является k.

Для того, чтобы показать действительность решения уравнения (5), потребуем, чтобы выражение (здесь , выражается через первоначальные параметры задачи) было положительным. Легко показать, что выбором значений можно добиться выполнения этого условия. Это значит, что и обращение интеграла

(9)

приводит к действительной функции .

Уравнение (6) имеет первый интеграл

, (10)

где

, , (11)

, , выражаются через параметры задачи.

Случай кратных корней уравнения . Рассмотрим случай, когда уравнение имеет кратные корни, тогда положим, что представимо в виде: . Это равенство будет выполнятся при условиях:

, , ,

, (12)

где ,

Рассмотрен ряд примеров, когда равенства (12) реализуются.

Интеграл (9) заменой можно преобразовать к виду

, (13)

его решение, в зависимости от параметров задачи, распадается на четыре случая. Решение интеграла из (11), в свою очередь, разбивается на 16 различных случаев. Выпишем решение исходной задачи для одного из таких случаев.

Случай . Решение исходной задачи для рассматриваемого случая таково:

,

,

,

где , , , , , ,

, ,

- произвольная постоянная, а , , выражаются через параметры задачи.

Компоненты вектора момента количества движения гиростата задаются формулами (3) и (4). Данное решение существует при выполнении условий, записанных в статье [1] (условия существования инвариантного соотношения (3) у уравнений (1) с интегралами (2), а также условий на параметры, при которых система (5)-(6) имеет интегрирующий множитель), с учетом того, что , а также необходимо чтобы , и удовлетворяли условиям (12) и неравенствам . Примером разрешения этого случая может служить следующий: , , , когда

, , , ,

, .

Л и т е р а т у р а

1. Узбек Е.К., Данилейко Е.А. Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения// Механика твердого тела.-2004.-Вып.34.-С.87-94.