Педагогические науки/5.Современные методы преподавания

К.ф.-м.н. Айдос Е.Ж.

Казахский технический университет имени К.И.Сатпаева, г.Алматы, Казахстан,

Определения математических понятии на

расширенном множестве действительных чисел

Введение и постановка задачи. Если определение некоторого математического понятия имеет теоретические пробелы, то теория, построенная на базе таких определении естественно не будет лишена недостатков, мягко говоря, такая теория уже будет неполноценной (например, диапазон ее применяемости не будет достаточно широким, она может содержать ошибки теоретического характера и т.д.). Поднятые здесь вопросы в частности нами были подтверждены в статье Aydos E.Zh. About determination Mathematical Concept Through characters. // Of the third Congress of the world Mathematical society of Turkic Countries, June 30 - July 4, 2009 // Третий конгресс Всемирного математического общества тюркоязычных стран, 30 июня – 4 июля 2009 г. В ней, была указана теоретическая проблема известного определения гладкой кривой и с помощью «угловой функции кривой» было дано новое определение для широкого класса гладких кривых, в котором была снята отмеченная проблема.

Мы для убедительности вышесказанного, продемонстрируем еще несколько математических вопросов, которые содержат проблемы теоретико-методического характера, затем показывая причины возникновения таких проблем займемся их решением.

Проблемные вопросы. Например, известные теоремы о среднем, в многих учебниках формулируются на языке конечной производной, которая не позволяет использовать эти теоремы для достаточно широкого класса функций. Чтобы раскрыть суть изложенной здесь проблемы рассмотрим, например, теорему Лагранжа.

Теорема 1 (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и имеет конечную производную на интервале то существует точка для которой выполняется равенство

Проблема: Использовать указанную теорему, например, для функции вида

(1)

мы не сможем (производные в точке - бесконечны), хотя для функции заключение теоремы соблюдается. Действительно, если взять функцию , то найдутся точки для которых выполняется равенство

Другой пример. Полная связь между касательной кривой и производной функции до сих пор остается неизвестной. Точнее говоря, «следует ли из существования производной функции в точке х, существование касательной в точке к кривой, и обратно»? Ясного ответа на этот вопрос, нет.

Причина проблем. Основная причина возникновения проблем в этих теоретических вопросах в том, что они построены на базе основных понятий математического анализа, как «предел, производная, непрерывность функции», которые определены в недостаточно широком смысле. Поясним это.

Обычно, понятия «существование предела и существование производной функции в точке» воспринимаются в смысле следующих конечных пределов

, и

А понятие «непрерывности функции в точке » определяется как существование односторонных конечных пределов и выполнение равенств .

Мы считаем, что указанные понятия, определенные в таком виде, имеют узкий смысл, поскольку они рассматриваются лишь в множестве конечных чисел И теория, построенная на базе понятии, имеющих узкий смысл, в результате сама будет иметь теоретические проблемы, как указаны выше нами.

Решение. Путь к решению вышеуказанных вопросов лежит через введения понятии «предел, производная, непрерывность функции в широком смысле». Для этого нужно определения этих понятии рассмотреть в расширенном множестве действительных чисел - Несмотря на не выполнения некоторых арифметических действии над бесконечными числами (напр., выражения , и т.д. не определены), они вполне могут служить для упрощения сложных математических выкладок (вспомните, например, вычисление интегралов функции комплексного переменного с помощью вычетов), а в нашем случае, именно они помогут получить решение вышеуказаных задач.

Считаем, что для бесконечностей имеет место соотношения: т.е. бесконечности одного знака равны, но бесконечности разных знаков не равны между собой. Выражение или не имеет смысла - отношение сравнения для бесконечностей без определенных знаков не распространяется. Также о выражениях