УДК. 631.31.001.57

Константинов М.М. -доктор технических наук, Оренбургский

государственный аграрный университет,

Нуралин Б.Н., Олейников С.В. - кандидаты технических наук, Западно-Казахстанский аграрно –технический университет

Дифференциальные уравнения движения элемента

почвенного пласта

Качественные и энергетические показатели работы почвообрабатывающей машины являются, в первую очередь, результатом механического взаимодей ствия его рабочих органов с почвой. Изучению механики движения почвенного пласта посвящено большое количество исследований как отечественных, так и зарубежных ученых. Эти исследования в основном посвящены изучению и описанию движения пласта по существующим, заданным лемешно - отвальным поверхностям, что дает возможность использовать полученные результаты для совершенствования этих рабочих органов, но не позволяет прогнозировать пара метры новых, исходя из требований, предъявляемых к технологии вспашки. Поэтому, следовало бы рассматривать движение пласта исключительно из технологических требований, в отрыве от конкретной формы поверхности, описать это движение, а затем уже переходить к поверхности, которая позволила бы реализовать это движение с достаточной точностью.

Почвенный пласт представляет собой сложную механическую систему, на свойства которой оказывает влияние целый ряд случайных факторов, и это не позволяет однозначно определить его модель. Но, учитывая основное условие работы почвообрабатывающего рабочего органа - скольжение почвы по его поверхности, можно принять за основу недеформируемую в процессе движения модель пласта. Это возможно только в том случае, когда сила сопротивления пласта сжатию будет достаточна для преодоления сил трения. При этом деформацией сжатия пласта за счет сил трения и массы в процессе его движения по рабочей поверхности можно пренебречь. Это дает основание применить для изучения движения пласта, как механической системы с голономными связями, уравнения Лагранжа 2-го рода, которые дают достаточно простой метод решения [1].

Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид:

, (1)

где q_i-обобщенная координата;

Q_i-обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате;

Т и П- кинетическая и потенциальная энергия системы.

В общем виде свободная механическая система обладает шестью степеня ми свободы, но применительно к движению почвенного пласта следует, ограни читься тремя, что вытекает из технологии вспашки и требований, предъявляемых к качеству ее проведения.

Рассмотрим движение элемента пласта (пласта М) по некоторой пространс твенной траекторий (рис.1). Положение точки М может быть определено тремя независимыми координатами (х,у,z) декартовой системы, однако проще можно

Рис. Схема движения элемента пласта по поверхности рабочего органа

описать движение рассматриваемой системы с помощью цилиндрических координат, исходя из условия, что траектория движения центра масс пласта представляет собой винтовую линию [2]. Тогда в качестве обобщенных коорди нат примем: линейную координату У в направлении движения пласта до вступ ления на рабочую поверхность; угловую координату φ (угол поворота пласта); линейную координату ρ в направлении радиуса вектора, соединяющего полюс вращения с точкой М.

Координаты точки М в декартовой системе выражаем цилиндрическими координатами

. (2)

Тогда выражение (1) преобразуется в следующий вид

(3)

На элемент пласта, движущийся по некоторой траектории, действует систе ма сил (рис.2): Р- сила взаимодействия пласта с остальными частями, действую щая в направлении скорости движения υ; F-cила сопротивления движению или сила трения почвы о рабочую поверхность, направленная в противоположен ную сторону скорости υ; G-сила тяжести элемента пласта; R-реакция поверх ности рабочего органа, величина и направление которой зависит от времени.

Рис. Силы, действующие на элемент пласта в процессе его движения.

Элементарная работа сил равна

(4)

Обобщенные силы вычислим, учитывая и задавая элементу виртуальные перемещения

при (5)

при (6)

при (7)

На основе кинетических и технологических аспектов движения пласта можно утверждать, что механическая система в процессе оборота движется по пространственной кривой, имеющая постоянное соотношение кривизны и кручения. Поэтому к винтовым можно отнести как обычную винтовую линию кругового цилиндра, так и «винтовую» линию некруглого цилиндра, кривизна и кручение которой изменяется, но их соотношение остается постоянным [3].

Проекция сил, входящие в уравнения (5,6,7), на обобщенные координатные плоскости выразятся следующим образом (рис.3а и б)

а) б)

Рис. Проекции сил на обобщенные координатные поверхности.

(8)

Углы и выразим через частные производные

(9)

Представим , где из уравнения системы (2)

Тогда

; (10)

Из определения винтовой линии следует, что угол между винтовой линией и образующими цилиндра есть величина постоянная и зависит только от ра диуса и шага винта , где S-шаг винта. В общем виде для винтовой линии ρ и S есть величины переменные, но ψ=const. Используя это условие,

. (11)

Векторы скоростей элемента пласта в направлении обобщенных координат (рис.1) лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Если пласт в процессе оборота не переориентируется, то тогда кинетическая энергия элемента пласта будет равна . Взяв частные производные от кинетической энергии по вычислим обобщенные импульсы

(12)

Производные от обобщенных импульсов равны

(13)

Частные производные от кинетической энергии по у, ρ и φ

(14)

После подстановки (5,6,7, 12, 13, 14) в систему уравнений Лагранжа (1) по лучим искомые уравнения движения элемента пласта в дифференциальной форме

;

; (15)

где ;

;

Полученные уравнения связывают силовые, кинематические и технологи ческие параметры, определяющие движение элемента пласта по заданной траектории и позволяет определить силы, действующие на пласт в процессе его движения. Знание этих сил позволит решить вопрос об аналитическом проектировании поверхностей рабочего органа и вычислить его тяговое сопротивление.

Литература

1. Петкевич В.В. Теоретическая механика// В.В. Петкевич.-М.:Наука,1981.

2. Бледных В.В. Кинематика отвальной вспашки// В.В.Бледных/В сб.: Сборник научных трудов ЧИМЭСХ. - Челябинск, 1983.с. 9-17

3. Гячев Л.В. Теория лемешно-отвальной поверхности// Л.В. Гячев. - Зерноград, 1961.-311с.

Аннотация

Рассмотрена механика движения почвенного пласта исключительно из технологических требований в отрыве от конкретной поверхности. Полученные уравнения связывают силовые, кинематические и технологические параметры, определяющие, заданную траекторию движения элемента пласта и позволит, решить вопрос аналитического проектирования лемешно-отвальных поверхностей для наперед заданных условий работы.

Annotation

The mechanics of movement of a soil layer exclusively from technology require- ments in a separation from a concrete surface in considered. The received equations connect the power, kinematic and technological parameters defining the set trajectory of movement of an element of a layer and are allowed to solve a question of analytical designing ploughshare mould-board surfaces for beforehand set working conditions.

Ключевые слова

Траектория движения пласта, обобщенная сила, обобщенная координата, кинетическая и потенциальная энергия, дифференциальное уравнение.

Key words

Trajectory of movement of an element of a layer, the generalized force, the generalized co-ordinate, kinetic and potential energy, the differential equation.