Лысенко Н.В., Шмаков Ю.Д.

Национальный горный университет, г. Днепропетровск, Украина

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННОГО СИГНАЛА В СИСТЕМЕ ОПЕРАТИВНОГО КОНТРОЛЯ НДС ПОРОДНОГО МАССИВА

 

Одной из наиболее актуальных проблем, стоящих перед угледобывающей промышленностью является проблема прогноза внезапных выбросов угля и газа. Одним из возможных направлений решения этой проблемы является использование систем акустического мониторинга состояния породного массива. Они основаны на различии акустических свойств породного массива при разных значениях напряженности состояния[1].

В данной работе предполагается уточнение характеристик акустического информационного сигнала, используемого в системе диагностики состояния породного массива.

В настоящее время принято считать, что акустический сигнал геомониторинга является случайным сигналом в ограниченной полосе частот. Вместе с тем визуальный просмотр фонограмм этого сигнала показал определенную временную структурированность (рис.1). В связи с этим, было выдвинуто предположение  о том, что этот сигнал имеет хаотический характер. Для сигналов этого класса основными показателями являются значения стохастических характеристик: показатель Хёрста H и фрактальная размерность D. Для  подтверждения выдвинутой гипотезы и была выполнена оценка этих параметров для информационного входного сигнала системы оперативного контроля напряженно-деформированного состояния (НДС) породного массива.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Понятие фрактал было введено Б. Мандельбротом в семидесятые годы и происходит  от  латинского fractus,  прилагательного  от  глагола frangere - ломать, разбивать на части.  Часто фрактал определяют как множество, части которого подобны целому. 

         Объем фрактала в своем пространстве вложения всегда равен нулю. Он, однако, может быть отличен от нуля в пространстве меньшей размерности. Чтобы определить размерность этого пространства D, разобьем все n-мерное пространство на малые кубы с длиной ребра δ и объемом δn (рис. 2). Пусть  N(δ) - минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению

                                                                      (1)

Эту величину обычно называют хаусдорфовой или фрактальной размерностью.

 

 

 

 

 

 

Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Кроме того, она описывает структуру предмета при изменении коэффициента увеличения или при изменении масштаба предмета. Для физических (или геометрических) фракталов такой закон подобного преобразования имеет место в пространстве. Фрактальный временной ряд изменяет масштаб статистически, во времени.

В  реальном  мире  чистых,  упорядоченных  фракталов,  как  правило,  не существует,  и  можно  говорить  лишь  о  фрактальных  явлениях.  Их  следует рассматривать только как модели, которые приближенно являются фракталами в статистическом  смысле [2].

Есть  несколько  методов  определения  фрактальной  размерности  для временного ряда.

Первый метод -  это  классический  клеточный  способ,  когда  график  накрывают серией сеток  и определяют фрактальную размерность точно так же, как и для геометрических фракталов. 

Второй  способ  для  исследования  фрактальных  временных  рядов  был предложен Бенуа Мандельбротом  и  базируется  на  исследованиях  проведенных английским исследователем Херстом и носит название R/S метода. Он построен на  анализе  размаха  параметра (наибольшим  и  наименьшим  значением  на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения.

И  третьим  является  способ,  основанный  на  изменении  длины  кривой  в зависимости  от  масштаба.  Если  кривая  близка  к  фрактальной,  то  с уменьшением масштаба длина кривой будет возрастать степенным образом. 

В данной работе используется второй способ для определения фрактальной размерности информационного акустического сигнала состояния породного массива по формуле:    

                                     ,                                                           (2)

 где  Н - показатель Херста, названый в честь британского гидролога Г. Херста. 

Показатель Херста определяется следующим образом:

                                    ,                                        (3)

откуда

                                 ,                                      (4)

где     R – размах накопленного отклонения;

N - количество отсчетов;

S – среднеквадратическое отклонение.

                                   ,                              (5)

где   Хср – среднее арифметическое временного ряда  х за N отсчетов.

 

                                                                           (6)

 

Размах накопленного отклонения R является наиболее важным элементом формулы расчета показателя Херста. В общем виде его вычисляют следующим образом:

                                         (7)

Из формулы расчета показателя Херста (4) видно, что на его рост влияют:

·        увеличение размаха колебаний R (7);

·        уменьшение среднеквадратичного отклонения S (5);

·        уменьшение количества наблюдений N.

Для анализа использовались фрагменты акустических 16-и разрядных  сигналов продолжительностью 3с, и частотой 44,1 кГц. При нарезке фрагментов из фонограммы выбирались временные интервалы, на которых отсутствовали явно выраженные помехи, как электрического, таки механического происхождения.  Результаты анализа, представленные в табл. 1.

 

Таблица 1

Показания стохастических параметров

Акустические сигналы породного массива в состоянии «Опасно»

Показатель Херста H

Фрактальная размерность D

Сигнал 1

0,2599

1,7401

Сигнал 2

0,2467

1,7533

Сигнал 3

0,2589

1,7411

Сигнал 4

0,2680

1,732

Сигнал 5

0,2353

1,7647

Сигнал 6

0,2708

1,7292

Сигнал 7

0,2603

1,7392

Сигнал 8

0,2814

1,7186

Сигнал 9

0,2604

1,7396

Акустические сигналы породного массива в состоянии «Неопасно»

 

 

Сигнал 1

0,248

1,752

Сигнал 2

0,2428

1,7572

Сигнал 3

0,23

1,77

Сигнал 4

0,2221

1,7779

Сигнал 5

0,2253

1,7747

Сигнал 6

0,2452

1,7548

Сигнал 7

0,2429

1,7571

Сигнал 8

0,2287

1,7713

Сигнал 9

0,2315

1,7685

 

Известно, что для случайного сигнала Н=0.5, D=1.5; для детерминированного - Н=0, D=2 (рис.3). Поскольку анализируемые сигналы имеют промежуточное значение, то их можно рассматривать как фрактальный временной ряд и анализировать методами нелинейной динамики [3].

 

 

 

 

 

 

 


В тоже время, стохастические характеристики информационных акустических сигналов для «опасного» и «неопасного» состояний достаточно близки, и не могут служить для диагностики состояний породного массива.

 

Выводы:

1.     Показано, что информационный акустический сигнал систем геомониторинга является фрактальным временным рядом;

2.     Фрактальность информационного акустического сигнала системы геомониторинга породного массива позволяет применять для его исследования методы нелинейной динамики, способные повысить точность оценивания НДС породного массива. 

Список литературы:

1.     Масленников Е. В., Шмаков Ю. Д. , Задачи создания аппаратуры акустического контроля в системе геомониторинга породного массива, Научный вестник НГУ. – Днепропетровск, 2006. – № 9, с. 69-74.

2.     Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.- Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. - 160 с.

3.     Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. - 656 с.