Математика/5. Математическое моделирование
Д.т.н. Карпов В.В., к.ф.м.н. Рябикова Т.В.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный
университет
Моделирование оболочек вращения в
единой системе координат
Различные виды
оболочек (цилиндрические, конические, сферические, торообразные) задаются в
разных системах координат, но координатные линии проходят по линиям главных
кривизн оболочки [1-4].
Различие оболочек
проявляются, в основном, в геометрических соотношениях, которые в срединной
поверхности оболочки (в координатной поверхности для ребристых оболочек) имеют
вид (для оболочек вращения и это учтено)
(1)
Функции изменения
кривизн и кручения при учете поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера)
имеют вид
(2)
В выражениях (1), (2)
координаты могут быть как
линейные, так и угловые, а параметры Ляме для различных оболочек разные, но
,
.
Так, для пологих
оболочек прямоугольного плана - линейные
координаты,
,
,
причем
- константы.
Для цилиндрических и
конических оболочек координата – линейная, а
– угловая. Для
цилиндрических оболочек
,
,
(
– радиус цилиндрической
поверхности, является константой). Для конических оболочек
,
(
- угол конусности),
,
.
Для сферических и
тороидальных оболочек координаты – угловые. Для
сферических оболочек
(
– радиус сферической поверхности,
является константой). Для торобразных оболочек при отступе сектора вращения от
оси вращения на
и смещении
вращающегося сектора от оси вращения на угол
,
,
,
,
(
– радиус вращающегося сектора,
является константой).
Введем безразмерные параметры:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Деформации в безразмерных
параметрах принимают вид
,
,
,
,
,
,
,
.
Функционал полной энергии
деформации оболочки принимает вид
,
где
.
Даже при переходе к
безразмерным параметрам в выражении каждый член умножается на обратную величину
произведения параметров Ляме, что делает это
выражение громоздким.
Перейдем к линейным
координатам, совпадающим с линиями главных кривизн, как это сделано для пологих
оболочек прямоугольного плана (оболочек переноса), тогда функционал полной
энергии деформации оболочек вращения упроститься.
Для перехода к общей
системе координат сделаем замену переменных
Теперь координаты
– линейные
координаты, проходящие по линиям главных кривизн оболочки.
Если координаты имели постоянные
пределы изменения
,
, то теперь координата
имеет постоянные
пределы изменения, а координата
имеет верхний предел
изменения, зависящий от
.
Таким образом, так
как ,
, обратные соотношения имеют вид
,
.
В соотношениях (1),
(2), где ,
,
,
,
, перейдем к новым координатам
, имея в виду, что, например,
.
Тогда
Так как ,
,
,
, то
(3)
Таким образом, имеем
следующие формулы для перехода к новым координатам
где .
Для модели
Тимошенко-Рейснера в функционале полной энергии деформации встречаются только
первые производные искомых функций, а для модели Кирхгофа-Лява – и вторые
производные. Так как формулы перехода к новым координатам для вторых
производных громоздкие, то использовать модель Кирхгофа-Лява не целесообразно.
Учитывая (3) геометрические соотношения (1) принимают вид
(4)
Функции изменения
кривизн и кручений (2) примут вид
(5)
В соотношениях (4), (5)
,
.
В таблице для
различных видов оболочек представлены значения, входящих в соотношения (4), (5)
параметров в новых координатах (так как
,
то в таблице этот параметр не представлен).
После перехода к
новым координатам в функционале полной энергии деформации,
учитывая, что Якобиан перехода будет равен
,
получим
(6)
В таблице .
Таким образом, при
переходе к единой системе координат для оболочек вращения изменяются только
геометрические соотношения, в которых будут присутствовать два коэффициента и
, разных для различных видов оболочек. Сами геометрические
соотношения упрощаются. Так же существенно упрощается функционал полной энергии
деформации.
В MATLAB7 была составлена программа для расчета оболочек вращения в единой системе
координат для геометрически линейной задачи (в выражениях деформаций (1)
пренебрегали квадратичными членами). В качестве примера рассматривалась панель
сферической оболочки, радиуса ,
ограниченная углами
и
(рис. 1).
Рис. 1. Общий вид сферической
оболочки
В новой системе координат для
панели сферической оболочки ,
,
,
,
,
при этом прямоугольная область интегрирования
перешла в криволинейную трапецию
.
Для нахождения функций
перемещений и поворотов, обеспечивающих минимум функционалу полной энергии
деформации (6), применяем процедуру метода Ритца, согласно которой приближенное
решение поставленной задачи будем искать
в виде
,
,
, (7)
,
.
Здесь – известные базисные функции переменных
и
,
удовлетворяющие заданным краевым условиям на границе области
;
– неизвестные числовые параметры,
определяемые из условия минимума функционала (6).
В качестве базисных
функций, удовлетворяющих условиям
жесткой заделки на краях оболочки, использовались многочлены:
,
.
На рисунках 2 и 3
приведены графики функции прогибов и интенсивности напряжений
в единой системе координат для сферической
оболочки с исходными данными:
,
,
,
,
,
,
,
при нагрузке
.
В разложении (7) по методу Ритца
.
Рис. 2.
Распределение прогибов оболочки в единой системе координат
,
Рис. 3.
Распределение интенсивности напряжений оболочки
в единой системе координат ,
Максимальные значения функции прогиба и интенсивности напряжений соответственно равны и
. Для сравнения был проведен расчет данной
оболочки в сферической системе координат
и
.
На рисунках 4 и 5 представлены функции
и
,
при этом максимальные значения прогиба и интенсивности напряжений оказались
равными:
и
.
Рис. 4. Распределение прогибов
оболочки в сферической системе координат
,
Рис. 5. Распределение
интенсивности напряжений оболочки
в сферической системе координат ,
Таким образом, процесс
программирования задачи в единой системе координат существенно упрощается,
причем для различных видов оболочек будут отличаться только коэффициенты ,
.
Результаты расчета напряженно-деформированного состояния оболочек, полученные в
единой системе, практически совпали с результатами, полученными в исходной
системе координат
Литература:
1.
Векуа И.Н. Некоторые общие методы
построения теории оболочек. – М.: Наука. 1982. – 286 с.
2.
Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.
– М.: Гостехиздат, 1953.
3.
Лурье А.И. Общая теория упругих тонких
оболочек // ПММ. Т.4, 1940. Вып.2.
4.
Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – Л.:
Судпромиздат, 1962. – 431 с.