Несуществование дополнительных аналитических первых
интегралов возмущённой задачи Баррара.
Севрюков П. Ф. г.
Ставрополь
Рассмотрим движение спутника, принимаемого
за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось
аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат
поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в
стандартных обозначениях будет иметь вид
, (1)
где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль
радиус-вектора, In – постоянный
параметр, Рn – полином Лежандра n
– го порядка.
Гравитационное поле планеты будем
аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат
поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это значение составляет аппликату
центра масс планеты, I2=0, а
потенциал Баррара запишется следующим образом:
, (2)
где sinφ=. Оставшиеся
члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию
, (3)
U=W+R. (4)
Уравнение движения невозмущённой задачи
Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные
«действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры.
Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую
форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и
обращаются в соответствующие элементы при с=0
[3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут
иметь вид
(5)
причём
. (6)
Ясно, что в формуле (6) - невозмущённый
гамильтониан задачи Баррара, R – пертурбационная
функция(3), которая с учётом соотношений
sinφ=sini∙cosθ, (7)
r=p (8)
может быть представлена в форме
. (9)
В приведённых формулах р=а(1-е2), θ=v+ω; а- большая
полуось, е – эксцентриситет, i
– наклон орбиты, v
– истинная аномалия, ω – аргумент перицентра.
Введём функции наклона и эксцентриситета
для задачи Баррара [4]:
, (10)
, (11)
тогда пертурбационная функция запишется в виде
. (12)
Функции эксцентриситета связаны с коэффициентами
Ганзена с нулевым верхним индексом соотношением
. (13)
Функции наклона выразятся через присоединённые функции
Лежандра:
. (14)
Выбрав в качестве малого параметра величину μ=c10-6, где
r0 – средний радиус планеты, представим пертурбационную
функцию рядом
. (15)
Используя формулы связи, указанные в работе [3],
выразим элементы орбиты а, е, i через переменные действия L, G, H. Для угловых переменных с точностью до ε2 v=l, ω=g. Здесь . Таким образом, каждая функция
может быть выражена
через переменные L, G, H, l, g и является периодической по угловым переменным l и g с периодом
2π:
. (16)
В соответствии с [3] невозмущённый гамильтониан задачи
имеет вид
. (17)
Нетрудно заметить, что угловая переменная h является
циклической, поэтому уравнения Гамильтона (5) допускают первый интеграл
=L=const, (18)
что даёт возможность понизить порядок первоначальной
системы уравнений и получить приведённую систему
(19)
с гамильтонианом
. (20)
В «Новых методах небесной механики» А.
Пуанкаре [5] доказана теорема, которая в нашем случае может быть сформулирована
следующим образом:
Пусть движение спутника описывается
приведённой системой (19), причём гамильтониан имеет вид (20). Тогда, если
- функция не зависит от угловых
переменных l и g,
- гессиан функции по переменным L
и G не равен тождественно нулю,
- функции являются
периодическими функциями от l и g с периодом
2π,
то приведённая система уравнений не
допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме
интеграла энергии =const при достаточной малости параметра μ.
Нетрудно проверить, что все условия
сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте,
что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении
пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все
коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R
показывает, что всё это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том,
что приведённая система уравнений (19) не может иметь никаких аналитических
однозначных интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии и
циклического интеграла (18).
Библиографический список.
1.
Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate
planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.
2.
Дёмин В.Г. Движение
искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр.
122-130.
3.
Искакова А.М. Переменные
«действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной
массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.
4.
Севрюков П.Ф. О
дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.//
Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы:
Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.
5.
Пуанкаре А. Новые методы
небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр.
8-326.