Технические науки/10.Горное дело
К.т.н.,
Каражанов А.А.
Таразский государственный
университет имени М.Х.Дулати,
Республика Казахстан
Разработка квадратичного преобразования
с вертикальной осью симметрии применительно к конструированию поверхности
туннеля
Одним из
основных направлений исследования начертательной геометрии является
развитие теории геометрических преобразований с целью применения в решении
научных и технических задач, связанных сложными геометрическими формами.
В шахтном строительстве часто применяется каналовые
поверхности
сводчатой формы. Сводчатая форма более благоприятна с
точки зрения ее устойчивости, рационального использования крепи, ее несущей
способности и перераспределения воспринимающих ею нагрузок. При проектировании
горизонтальных выработок возникает вопрос геометрического конструирования
поверхности сводов. На практике используются, в основном, составные своды из
дуг кривых 2-го порядка или сплайны, что усложняют решения конструкторских и
технологических задач.
Для формообразования криволинейных поверхностей подземных
выработок можно использовать геометрические преобразования, в частности
(2-2)-значные преобразования, что позволяет моделировать сложные поверхности по
наперед заданным геометрическим параметрам и автоматизировать процесс их
проектирования.
В данной
статье излагаются основы
теории (2-2)-значного преобразования (Г2) с вертикальной осью
симметрии, порождаемого
отображениями однополостного гиперболоида.
Сущность
получения (2-2)-значного преобразования Г2 с
вертикальной осью симметрии заключается в следующем:
1) В трехмерном
пространстве задается однополостный гиперболоид Р2
с осью Оy (рисунок 1), при этом плоскости xОy≡x'Оy' (П2≡П2');
2) На заданной поверхности
отмечаем произвольную точку М1°, которую ортогонально
проецируем на плоскость П2. Получим точку М (рисунок
2). Следует отметить, что на поверхности Р2 расположена еще одна
точка М2°, которая проецируется в точку М (рисунок
2). Окружность получена пересечением
поверхности Р2 и плоскости
;
3) Поверхность Р2
подвергаем преобразованию β1, которое вращает поверхность Р2
на 90°
относительно оси Оy так, чтобы положительное направление оси Оz совпадало с
положительным направлением оси Оx. Получим новую
поверхность Р2'. Тогда точки М1° и М2° занимают новые положения и они
обозначены символами М11° и М21°.
Точки
М11° и М21° ортогонально
проецировав на плоскость П2', получим точки М1 и М2 (рисунки 3,
4). является
горизонтальным следом плоскости
. Таким образом, точке-прообразу М плоскости П2
соответствуют
две точки М1 и М2 плоскости П2'≡П2 (рисунок
4). Другими словами на плоскости П2≡П2' устанавливается
(1-2)-значное преобразование Г2.
Если
точку М1 или М2 подвергать обратному
преобразованию
Г'2, то получим две точки М3 и М4,
одна из которых инцидентна точке М. Поэтому в дальнейшем Г2 будем
называть (2-2)-значным преобразованием на совмещенной плоскости П2≡П2'.
Рисунок 1 – Поверхность Р2
Рисунок 2 – Построение точки М
Рисунок 3–Построение точек М1 и М2
Рисунок 4–Изображение точек М, М1, М2
Определены уравнения (2-2)-значного геометрического преобразования Г2 в виде:
, (1)
, (2)
где x, y – координаты прообраза;
x',y'
– координаты образа;
R
– параметр преобразования.
Определена графическая модель
(2-2)-значного геометрического преобразования Г2 в следующей последовательности:
1)
первое
уравнение системы (1) преобразует точку М(х,у)
на две точки М1 и М2 с абсциссами:
.
(3)
. (4)
Уравнения (3) и (4) показывают, что
точки М1 и М2 симметричны относительно оси Оy. Второе уравнение системы (1) показывает, что точки М, М1 и М2 лежат на горизонтальной линии;
2)
значение
графически
определяется следующим образом:
2.1)
х и у заданные координаты точки М, то есть известные величины;
x'
– искомая величина;
2.2)
обозначим
сумму R2+y2 в
виде:
R2 + y2 = b2 . (5)
2.3)
выражению
(5)
соответствует на чертеже прямоугольный треугольник О12 (рисунок
5), где катет О1 равен R, катет 12 равен y; гипотенуза О2 равен b. Для построения прямоугольного
треугольника О12: из точки 1 проводим вертикальную прямую и из точки М проводим
горизонтальную прямую, которые пересекаются в точке 2;
2.4)
учитывая
выражение (5),
перепишем первое уравнение системы (1) в виде:
x'2 + x2 = b2 . (6)
2.5)
выражению
(6)
соответствует на чертеже прямоугольный треугольник О45 (рисунок
5), где: катет О4 равен x,
гипотенуза О5 равен b, катет 45 равен искомой величине x'. Для построения прямоугольного треугольника О45: точку 3 вращаем
до точки 4 центром в точке О. Из точки 4 проводим горизонтальную прямую и точку
2 вращаем центром в точке О, которые пересекаются в точке 5;
2.6)
из
точки 5 проводим вертикальную прямую и из точки М проводим горизонтальную
прямую, которые пересекаются в точке М1 с координатами (x',у'). Точка М2 расположена симметрично точке М1 относительно оси y.
Таким
образом, рисунок 5 является графической моделью (2-2)-значного
преобразования Г2 с вертикальной осью
симметрии.
Рисунок 5 – Построение графической модели преобразования Г2
Литература
1. Джапаридзе
И.С. Геометрические преобразования пространства и их применения в
начертательной геометрии. Методы начертательной геометрии и ее приложения. –
М.:1955 – 54-222 с.
2. Ермаков
А.В. Кремоновы преобразования пространства в конструировании рациональных
каркасных поверхностей: автореф. ...канд.техн.наук: 05.01.01. – М.: МТИПП, 1977
– 17 с.
3. Завьялов
Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.:
Машиностроение, 1985 – 222 с.
4. Котов
И.И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. – М.: МАИ, 1975.
5. Манеевич
В.А. К теории многозначных точечных соответствий /Труды МИИТ: Вопросы
дифференциальной, синтетической прикладной геометрии. – М.: 1965. №190. – с.
158-160.
6. Фролов
С.А. Методы преобразования ортогональных проекций. – М.: Машиностроение,
1970 – 160 с.