Экономические
науки/8 математические методы в экономике
Дмитренко И.С., к.ф-м.н., Колесников С.А.
Донбасская государственная машиностроительная академия
Кафедра высшей математики
Применение дифференциальных
уравнений для решения задачи о замене оборудования в курсе исследования
операций
Одной из важных экономически обоснованных
проблем, рассматриваемых в курсе исследования операций, является определение оптимальной стратегии в замене старого
оборудования на новое. При этом можно рассматривать
варианты замены старого оборудования на новое того же вида; или на новое, но
более совершенное оборудование. Известны различные постановки данной задачи и методы ее решения. Одним из
эффективных методов решения является метод, использующий функциональные
уравнения Беллмана.
Рассмотрим одну из
задач: определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования возраст
которого t1 на период времени t0 , при условии, что суммарные затраты на его
эксплуатацию с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.
Введем следующие обозначения:
K(t)- функция, определяющая стоимость оборудования в любой
момент времени t, - начальная цена эксплуатируемого оборудования,
- стоимость нового оборудования,
- затраты на содержание оборудования
в течение года эксплуатации,
- остаточная стоимость оборудования в момент времени t1.
Для
того чтобы найти функцию K(t)
сформулируем задачу следующим образом: найти функцию, определяющую стоимость
оборудования, в предположении, что скорость изменения стоимости прямо
пропорциональна ее значению.
Математической моделью является следующее
дифференциальное уравнение с краевыми условиями:
,
где а
- коэффициент пропорциональности, зависящий от краевых условий.
Тогда решением данного дифференциального
уравнения будет следующая функция: - функция стоимости
оборудования (его ликвидная стоимость)
Пусть
- оптимальные затраты
на эксплуатацию оборудования, начиная с n-го шага до конца, при условии, что к началу n-го шага
оборудование имеет возраст t лет. Запишем
функциональные уравнения Беллмана для данной задачи:
fn+1(t+1)=
.
На первом этапе целевая функция задачи .
В первой строке, описывающей стратегию
«сохранение», стоит сумма затрат на эксплуатацию оборудования и оптимальных затрат
на эксплуатацию оборудования возраста (t+1) лет на предыдущем (n+1)-ом шаге.
Во второй строке, описывающей стратегию
«замена», находится четыре слагаемых, имеющих следующий
экономико-математический смысл. Первое слагаемое P0 это затраты на
покупку нового оборудования ; второе R0 -
затраты на его эксплуатацию в течение первого года. Третье слагаемое- это
стоимость продажи старого оборудования (данную величину
можно характеризовать как доход предприятия, а мы рассматриваем задачу
относительно минимизации затрат). Четвертое слагаемое определяет оптимальные
затраты на эксплуатацию нового оборудования в течение одного года работы на
предыдущем, (n+1)-ом шаге.
Приведем
в качестве примера решение задачи о замене оборудования методом обратной прогонки с использованием элементов сетевого
программирования при следующих условиях:
P0=4000, R0=600, C0=3000, C1=2500, t0=5, t1=1
Функциональные уравнения Беллмана
принимают вид:
fn+1(t+1)=-3000(5/6)t.
Составим сетевой график для данной задачи
:
В начале первого года имеется оборудование
годичного возраста. Мы можем его либо заменить (З), либо эксплуатировать (С) на
протяжении следующего года. Если оборудование заменили, то в начале второго
года его возраст будет равен одному году, в противном случае его возраст будет
два года. Если однолетнее оборудование заменяется в начале второго или третьего
года, то заменившее его оборудование к началу следующего года также будет
однолетним. В конце 5-го года эксплуатации все оборудование продается (П) в
обязательном порядке.
Решение данной задачи эквивалентно
нахождению маршрута минимальной длины от начала первого года к концу пятого в
сети, показанной на рисунке. Начнем решение задачи с последнего этапа, на
котором оборудование любого возраста продается.
Этап 5 f5(1)=-2500; f5(2)=-2083,3;
f5(3)=-1736,1; f5(4)==-1446,8;
f5(5)=-1205,6
Этап
4
t |
С |
З |
оптимум |
|
600(t+1)+f5(t+1) |
4600-3000(5/6)t+f5(1) |
f4(t) |
решение |
|
1 |
- 883,3 |
-400 |
-883,3 |
С |
2 |
63,9 |
16,7 |
16,7 |
З |
3 |
953,2 |
363,9 |
363,9 |
З |
4 |
1794,4 |
653,2 |
653,2 |
З |
Этап
3
t |
С |
З |
оптимум |
|
600(t+1)+f4(t+1) |
4600-3000(5/6)t+f4(1) |
f3(t) |
решение |
|
1 |
1267,2 |
1216,7 |
1216,7 |
З |
2 |
2163,9 |
633,4 |
1633,4 |
З |
3 |
3053,2 |
1980,6 |
1980,6 |
З |
Этап 2
t |
С |
З |
оптимум |
|
600(t+1)+f3(t+1) |
4600-3000(5/6)t+f3 (1) |
f2(t) |
решение |
|
1 |
2833,4 |
316,7 |
2833,4 |
С |
2 |
3780,6 |
733,4 |
3733,4 |
З |
Этап
1
t |
С |
З |
оптимум |
|
600(t+1)+f2(t+1) |
4600-3000(5/6)t+f2
(1) |
f1(t) |
решение |
|
1 |
4933,4 |
933,4 |
4933,4 |
С,
З |
При определении последовательности
получения оптимального решения будем учитывать тот факт, что если в начале
какого либо года эксплуатации есть альтернатива: заменять оборудование либо
сохранять, то лучше оборудование заменить.
Итак, из последней таблицы находим, что
оборудование данного возраста t1=1 лучше заменить, тогда в начале второго года
эксплуатации имеем оборудование возраста 1 год. Из таблицы этапа 2 при t=1
определяем оптимальную стратегию - сохранение, тогда имеем оборудование уже
возраста 2 года. Из таблицы этапа 3 находим при t=2 оптимальную стратегию - замена оборудования. Тогда из
последней таблицы при t=1: сохранение оборудования.
Ответ:
оптимальный режим эксплуатации
состоит в том, чтобы заменить старое оборудование новым в начале 2-го и 4-го
года эксплуатации.
Авторами разработан набор различных
практических задач для курса исследование операций , которые были внедрены в
учебный процесс.
Литература
1.
Исследование операций в
экономике: Учеб.пособие для вузов; Под
ред..проф.Н.Ш.Кремера.-М.:ЮНИТИ,2002.265-270с.
2.
Таха, Хэмди А. Введение
в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-912с.
3.
Фомин Г.П.
Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник.-М.:Финансы
и статистика, 2001.335-342с.