М.П.Ленюк
Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”
Обчислення невласних інтегралів
за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Бесселя на
полярній вісі r ³ R0 > 0
Розглянемо
задачу про конструкцію обмеженого на множині = {r: r Î (R0, R1)
(R1, ¥)} розв’язку сепаратної
системи диференціальних рівнянь Ейлера та Бесселя
, r Î (R0, R1),
, r Î (R1, ¥) (1)
за крайовими умовами
,
= 0 (2)
та умовами спряження
, j = 1, 2. (3)
У рівностях (1) беруть участь диференціальні
оператори Ейлера [1] та Бесселя
[2]:
, 2a1 + 1 > 0,
, n ³ a2 > –1/2.
Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: qj > 0, ,
, |
| +
¹ 0,
³ 0,
³ 0, с21 × c11 > 0, cj1 =
.
Фундаментальну
систему розв’язків для рівняння Ейлера утворюють функції v1 =
та v2 =
[1]; фундаментальну
систему розв’язків для рівняння Бесселя
утворюють функції v1 =
(q2r) та v2 =
(q2r) [2].
Наявність
фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової
задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1, 3]:
,
. (4)
У рівностях (4) беруть участь функції Коші:
(5)
(6)
У
рівностях (5), (6) прийняті позначення:
,
,
,
,
,
.
Крайова
умова в точці r = R0 та умови спряження (3) для визначення величин A1, B1,B2 дають алгебраїчну
систему з трьох рівнянь:
,
,
. (7)
У системі (7) бере участь функція
G12 = +
+ .
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової
задачі: для ненульового вектора = {q1; q2} визначник алгебраїчної системи (7)
, (a) = (a1, a2). (8)
Визначимо
головні розв’язки крайової задачі (1) – (3):
1) породжені
неоднорідністю системи (1) функції впливу
, (9)
,
2) породжені крайовою умовою в точці
r = R0 функції Гріна
Wn, (a); 11(r, q)
= ,
Wn, (a); 12(r, q)
= ;
3) породжені неоднорідністю умов
спряження функції Гріна
,
,
,
; (11)
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної
системи (7) та підстановки одержаних
значень величин A1, B1 та B2 у формули (4) маємо
єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):
uj(r) = Wn, (a); 1j(r, q)g0 + +
+
+ +
, j = 1, 2. (12)
Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального
перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)
, (13)
q(x) – одинична функція Гевісайда [3].
Визначимо
функції та величини:
,
,
, j = 1, 2;
,
,
bj = (b 2 + )1/2,
³ 0, j = 1, 2;
,
,
,
,
,
, Jn(x), Nn(x) – функції Бесселя порядка n [2].
Наявність
спектральної функції
Vn, (a)(r, b) = q(r – R0)q(R1 – r)Vn, (a); 1(r, b) + q(r – R1)Vn, (a); 2(r, b),
спектральної щільності
Wn, (a)(b) = b ([wn, (a); 1(b)]2 + [wn, (a); 2(b)]2)–1
та вагової функції
s(r) = q(r –
R0)q(R1 – r)s 1 + q(r – R1)s 2
,
, s2 = 1
дозволяє визначити пряме Hn, (a) та обернене гібридне інтегральне
перетворення, породжене на множині
ГДО
[4]:
, (14)
, (15)
–
–
–
, (16)
, j = 1, 2.
Запишемо систему (1) в матричній формі
= –
(17)
Інтегральний оператор Hn, (a) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:
Hn, (a)[¼] = . (18) Припустимо, що max{
;
} =
> 0. Покладемо всюди
,
³ 0. Застосуємо за правилом множення матриць операторну
матрицю-рядок (18) до системи (17). Внаслідок тотожності (16) маємо алгебраїчне
рівняння:
+
+ .
Звідси
знаходимо, що функція
+
+ . (19)
Інтегральний оператор згідно правила (15)
як обернений до (18) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:
[¼] =
. (20)
Застосуємо
за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (20) до
матриці-елемента [(b)], де функція
(b) визначена формулою (19). Після низки елементарних
перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):
+
+
+
+
, j = 1, 2. (20)
Порівнюючи розв’язки (12) та (20) в силу єдиності,
одержуємо наступні формули обчислення
поліпараметричних невласних інтегралів [5]:
=
; j, m = 1, 2, (21)
=
; j = 1, 2, (22)
=
; j = 1, 2, (23)
=
; j = 1, 2, (24)
У
рівностях (21) – (24) функції Hn, (a); jm(r, r, q) визначені формулами
(9), функції Wn, (a); 1j(r, q) – формулами (10), а функції Гріна – формулами (11).
Зауважимо, що при max{;
} =
> 0
,
= 0. У цьому випадку замість
стоятиме
.
Оскільки
праві частини формул (21) – (24) не залежать від нерівностей ³ 0 (у випадку max{
;
}
=
) або
³ 0 (у випадку max{
;
} =
),
то можна покласти
, звужуючи при цьому сім’ю невласних поліпараметричних інтегралів.
Підсумком
викладеного вище є твердження.
Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {} неперервна на множин
, функції gj задовольняють крайові
умови (2) та умови спряження (3) й
виконується умова (8) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то
справджуються формули обчислення невласних поліпараметричних інтегралів за
власними елементами ГДО
, визначеного рівністю
(13).
1.
Степанов В.В. Курс
дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
2.
Ленюк М.П. Исследование основных
краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. –
62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
3.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука,
1965. – 328 с.
4.
Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є,
Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна
думка, 2004. – 368 с.
5.
Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних
перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368
с.