Математика/5.Математическое моделирование

А.П. Слесаренко, Т.В. Бутенко
Ин-т проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины

Метод малого параметра в регионально-
аналитическом моделировании нелинейных
нестационарных тепловых процессов.

В регионально-аналитическом моделировании процессов теплопроводности область сложной формы разбивается на ряд непересекающихся подобластей этой области – регионов . Разбивка на регионы производится так, чтобы конфигурация области региона была бы выпуклой и по возможности простой.

Для каждого региона области сложной формы выбирается своя полная система функций в наиболее естественной криволинейной ортогональной системе координат. Эти полные системы функций входят в аналитические конструкции региональных структур решений. Предложенная формула «склеивания» элементарных региональных структур решений позволила придать аналитической конструкции решения, точно удовлетворяющей заданному набору граничных условий, региональный «модульный» вид.

Рассматривается нелинейная нестационарная задача теплопроводности при

где и - малые параметры.

При выборе в качестве малого параметра , решение рассматриваемой задачи представляется в виде
, (1)
тогда нелинейная краевая задача сводится к решению двух нелинейных краевых задач теплопроводности для функций и .

Для решения данных задач применяются преобразования Лапласа или метод прямых совместно с регионально-структурным и вариационным методами.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда решение нелинейной задачи представляется в виде
(2)
при соответствующей аппроксимации объемной теплоемкости и теплопроводности. Приводятся результаты решения тестовой задачи, которые сравниваются с данными, полученными методом конечных разностей.

Рассматриваются нелинейные задачи теплопроводности для тел сложного сечения с разнородными сквозными включениями для случая, когда на поверхности тела задано условие
, (3)
а на поверхностях контакта разнородных сред заданы условия неидеального теплового контакта
, (4)
где тепловое сопротивление го контакта,
- малые параметры.

Для задачи в качестве малого параметра выбирается и решение для каждого региона представляется в виде
(5)

Для функций получим задачу нулевого приближения, учитывающую постоянные составляющие теплофизических характеристик.

Граничные условия и условия «сопряжения» для задачи первого приближения, учитывающие изменение коэффициентов теплопроводности , имеют вид
(6)

(7)

Структуру решения соответствующей задачи теплопроводности при построим по рекомендациям работы [1,2].

Применяя метод прямых, получим для каждого момента времени соответствующие задачи теплопроводности. Региональные структуры решения для данных задач, точно удовлетворяющие условиям (7), построим в виде
(8)

где

Функции - полные системы функций для регионов в наиболее естественной криволинейной ортогональной системе координат. Для отыскания неопределенных коэффициентов структур решения применяется один из вариационных методов или метод конечных разностей совместно с точечным методом наименьших квадратов.

Литература

1.Слесаренко А.П. Математическое моделирование тепловых процессов в телах сложной формы при нестационарных граничных условиях // Проблемы машиностроения. – 2002. – Т.5. - №4, С.72-80.

2.Слесаренко А.П. Регионально-аналитические базисные функции влияния граничных воздействий в решении задач теплопроводности для однородных и неоднородных сред. // Тез. докладов и сообщений. V Минский междунар. форум по тепло- и массообмену (Беларусь, Минск, май 2004), - Минск: ИТМО АН Беларуси. -2004. – Т.1., С.281-282.