Мустафаев А.П.

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Применение обобщенного метода характеристик при решения некоторых краевых задач для уравнения Лапласа

Весьма общим методом решения двухмерных задач для уравнения Лапласа является метод, использующий функции комплексного переменного. Рассмотрим две задачи.

Задача I. Найти функцию , гармоническую внутри кольца и удовлетворяющую граничным условиям

(1)

Задача II. Найти функцию, гармоническую внутри кругового сектора , , если

(2)

В работе (1) решения этих краевых задач для уравнения Лапласа найдены непосредственно простым подбором, без применения общих методов.

Мы найдем решение этих краевых задач в декартовой системе координат с применением простого правила (2), которое мы назвали «обобщенным методом характеристик».

Решение задачи I.

Переходя от полярной системы координат к декартовой и вводя вместо новую переменную зависящую от характеристик

(3)

приводим уравнение Лапласа к дифференциальному уравнению вида

(4)

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным, получим

(5)

где - производные постоянные. Т.к. и используя краевое условие (1) получим из (5):

.

Отсюда

(6)

Решение задачи II.

С помощью замены уравнение Лапласа приводится к дифференциальному уравнению вида

(8)

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным, получим

(9)

где . Т.к. , то используя краевое условие (2) и (9), получим

,

откуда . Тогда искомое решение задачи II имеет вид

Замечание. При решении этой краевой задачи мы нигде не использовали условие относительно , поэтому рассматриваемая область может быть расширена до

.

Литература.

1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математичкой физике: Учебное пособие – М., Наука, 1980 г.

2. А.П.Мустафаев Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Materiáli IV mezinárodní vĕdecko-praktiká conference «Vĕdecké myšlené inflačního století – 2008» - Díl 13. Matematika. Praha Publishing House «Education and Science» s.r.o. 2008