УДК 517.91:532.2
М.П. Ленюк,
Трасковецька Л.М.
Чернівецький факультет
НТУ “Харківський політехнічний
інститут”
ВЫЧИСЛЕНИЕ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА (КОНТОРОВИЧА-ЛЕБЕДЕВА)- ЭЙЛЕРА НА СЕГМЕНТЕ [0, R2] ПОЛЯРНОЙ ОСИ
Рассмотрим задачу построения ограниченного
на множестве I1 = {r: r Î (0, R1)
(R1, R2),
R2 < ¥} решения сепаратной системы дифференциальных
уравнений Бесселя с вырождением при старшей производной и Эйлера
, r Î (0, R1),
, r Î (R1,
R2) (1)
по краевым условиям
= 0,
(2)
и условиям сопряжения
, j = 1, 2. (3)
В равенствах (1) принимают участие дифференциальные операторы:
,
.
Здесь – дифференциальный оператор Бесселя (или
Конторовича-Лебедева) [1],
– дифференциальный
оператор Эйлера [2].
Мы предполагаем,
что выполнены условия на коэффициенты:
2aj + 1 >0, qj > 0, ³ 0,
³ 0,
¹ 0, c11c21 > 0,
, j = 1, 2.
Фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ( –
)v = 0 образуют функции v1 =
и v2 =
[1]; фундаментальную систему решений для
дифференциального уравнения Эйлера (
–
)v = 0
образуют функции v1 =
и v2 =
[2].
Наличие
фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой
задачи (1) – (3) методом функций Коши [2, 3]:
u1(r) = A1 +
,
u2(r) = A2 + B2
+
, (4)
где Ej(r, r) – функции Коши [2,
3]:
,
. (5)
Введем
в рассмотрение функции:
,
,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
(6)
Определим
функции:
=
,
=
,
, j, m = 1, 2,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
´
(7)
Условия
сопряжения (3) и краевое условие в точке r = R2 для определения величин A1, A2, B2 дают
алгебраическую систему из трех уравнений:
,
, (8)
.
Здесь
принимает участие функция
G12 = +
+
.
Предположим,
что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3): для
любого ненулевого
вектора = {q1; q2} определитель алгебраической системы (8)
¹
0. (9)
Введем
в рассмотрение главные решения краевой задачи (1) – (3):
1) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния
,
(10)
,
2) порожденные неоднородностью условий сопряжения
функции Грина
,
, (11)
,
;
3) порожденные краевым условиям в точке r = R2 функции
Грина
, (12)
].
В результате
однозначной разрешимости алгебраической системы (8), подстановки полученных
значений A1, A2 и B2 в
равенства (4) имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):
uj(r) = +
+
+
+ +
, j = 1, 2. (13)
Построим
решение краевой задачи (1) – (3) методом интегрального преобразования,
порожденного на множестве I1
гибридным дифференциальным оператором (ГДО)
= q(r)q(R1 – r)
+ q(r – R1)q(R2 – r)
, (14)
где q(x) –
единичная функция Хевисайда [3].
Определение.
Областью определения ГДО M(a) назовем множество G вектор-функций g(r) = {g1(r); g2(r)} с такими свойствами: 1) вектор функция f(r) = {[g1(r)];
[g2(r)]} непрерывная на множестве I1; 2) функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжения
, j = 1, 2. (15)
и краевым условиям
= 0,
. (16)
Поскольку
ГДО M(a)
самосопряженный и имеет одну особую точку r = 0, то его спектр
действительный и непрерывный [4]. Можно считать, что спектральный параметр b Î (0, ¥). Ему соответствует спектральная вектор-функция
V(a)(r, b) = q(r)q(R1 – r) V(a); 1(r, b) + q(r – R1)q(R2 – r) V(a); 2(r, b) Î G.
Функции
V(a); j(r, b) найдем как
ненулевое решение сепаратной системы дифференциальных уравнений
, r Î (0, R1),
, r Î (R1,
R2), (17)
удовлетворяющее условиям сопряжения (15) и краевым
условиям (16), bj(b) = (b2 + )1/2,
³ 0, j = 1, 2.
Фундаментальную систему решений для
дифференциального уравнения Бесселя ()v = 0 образуют функции
и
[1]; фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Эйлера (
)v = 0 образуют функции v1 =
cos(b2lnr) и v2 =
sin(b2lnr) [2].
Если
положить
V(a); 1(r, b) = A1 + B1
,
V(a); 2(r, b) = A2 cos(b2 lnr) + B2
sin(b2 lnr), (18)
То условия сопряжения ()16 и краевое условие в точке r = R2 для определения четырех неизвестных Aj,
Bj (j = 1, 2) дают алгебраическую систему из трех
уравнений:
,
, j = 1, 2. (19)
В системе
(19) принимают участие функции:
;
,
.
Разрешая
систему (19) стандартным способом [5] и подставляя полученные значения Aj, Bj в равенства (18) имеем компоненты
V(a); 1(r, b) = w(a); 1(b) – w(a); 2(b)
],
V(a); 2(r, b) = [
cos(b2 lnr)
– –
sin(b2 lnr)]. (20)
В равенствах (20) приняты
обозначения:
, w(a); j(b) =
–
,
=
; j = 1, 2.
Введем в рассмотрение спектральную плотность
W(a)(b) = 2b (shpb1)–1([w(a); 1(b)]2 + [w(a); 2(b)]2)–1
и весовую функцию
s(r) = q(r) q(R1 – r) s1 + q(r – R1) q(R2 – r)s2r
, s1 = 1,
Наличие спектральной функции V(a)(r, b), весовой функции s(r) и
спектральной плотности W(a)(b) дает возможность определить прямое H(a) и
обратное гибридное
интегральное преобразование (ГИП), порожденное на множестве I1 ГДО M(a) [4]:
, (21)
Î G. (22)
В
основе применения ГИП (H(a), ) для решения соответствующих задач лежит основное тождество
интегрального преобразования ГДО M(a):
–
+
++
,
. (23)
Построенное
методом ГИП (H(a), ) по известной логической схеме [4], единственное решение
краевой задачи (1) – (3) имеет структуру:
+
+ + (24)
++
+
+
,
q2 = max{;
}, j = 1, 2.
Сравнивая решения (13)и (24) в силу
единственности, получаем такие формулы вычисления полипараметрических
несобственных интегралов:
=
, j, k = 1, 2, (25)
=
, j = 1, 2, (26)
=
, j = 1, 2, (27)
= –
, j = 1, 2. (28)
Функции
влияния H(a); jk(r, r, q) определены по формулам (10), функции Грина – по формулам (11), а
функции Грина W(a); 2j(r, q) – по формулам (12).
Если
q2 = , то
,
³ 0. В этом случае b1 = b, b2 =
. Если q2 =
, то
,
. В этом случае b2 = b, b1 =
.
Итогом
изложенного выше есть утверждение.
Теорема. Если функция g(r) Î G, имеют
место неоднородные краевые условия (2), неоднородные условия сопряжения (3) и
выполняется условие (9) однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3), то
справедливы формулы (25) – (28) вычисления полипараметрических несобственных
интегралов по собственным элементам ГДО M(a),
определенного равенствами (14).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення типу
Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.
2.
Степанов В.В. Курс
дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
3.
Шилов Г.Е.
Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
4.
Ленюк М.П., Шинкарик
М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра).Частина 1.–Тернопіль:Економ. думка,2004.–368 с.
5.
Курош А.Г. Курс высшей
алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.