УДК 517.91:532.2

 

М.П. Ленюк, Трасковецька Л.М.

Чернівецький факультет НТУ “Харківський політехнічний інститут”

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА (КОНТОРОВИЧА-ЛЕБЕДЕВА)- ЭЙЛЕРА НА СЕГМЕНТЕ [0, R2] ПОЛЯРНОЙ ОСИ

 

Рассмотрим задачу построения ограниченного на множестве I1 = {r: r Î (0, R1)  (R1, R2), R2 < ¥} решения сепаратной системы дифференциальных уравнений Бесселя с вырождением при старшей производной и Эйлера

                               , r Î (0, R1),                              

                              , r Î (R1, R2)                                 (1)

по краевым условиям

                       = 0,                          (2)

и условиям сопряжения

           , j = 1, 2.              (3)

          В равенствах (1) принимают участие дифференциальные операторы:

, .

          Здесь  – дифференциальный оператор Бесселя (или Конторовича-Лебедева) [1],  – дифференциальный оператор Эйлера  [2].

          Мы предполагаем, что выполнены условия на коэффициенты:

2aj + 1 >0,  qj > 0,  ³ 0,  ³ 0,  ¹ 0, c11c21 > 0, , j = 1, 2.

          Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ( – )v = 0 образуют функции v1 =  и v2 =  [1]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( – )v = 0 образуют функции v1 =  и v2 =  [2].

          Наличие фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой задачи (1) – (3) методом функций Коши [2, 3]:

          u1(r) = A1 + ,

          u2(r) = A2 + B2 + ,                   (4)

где Ej(r, r) – функции Коши [2, 3]:

                                 ,

                         .                            (5)

          Введем в рассмотрение функции:

,

,

.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

              (6)

          Определим функции:

= ,

 = ,

, j, m = 1, 2,

.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

 ´                (7)

          Условия сопряжения (3) и краевое условие в точке r = R2 для определения величин A1, A2, B2 дают алгебраическую систему из трех уравнений:

                ,

                ,         (8)

                .

          Здесь принимает участие функция

                       G12 =  +

                        + .

          Предположим, что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3): для любого ненулевого вектора  = {q1; q2} определитель алгебраической системы (8)

 ¹ 0.   (9)

          Введем в рассмотрение главные решения краевой задачи (1) – (3):

1) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния

,              (10)

,

2) порожденные неоднородностью условий сопряжения функции Грина

, ,                 (11)

,;

3) порожденные краевым условиям в точке r = R2 функции Грина

,                                                           (12)

].

          В результате однозначной разрешимости алгебраической системы (8), подстановки полученных значений A1, A2 и B2 в равенства (4) имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):

             uj(r) =  +  +  +

+  + , j = 1, 2.  (13)

          Построим решение краевой задачи (1) – (3) методом интегрального преобразования, порожденного на множестве I1 гибридным дифференциальным оператором (ГДО)

                      = q(r)q(R1 – r) + q(r – R1)q(R2 – r) ,                      (14)

где q(x) – единичная функция Хевисайда [3].

          Определение. Областью определения ГДО M(a) назовем множество G вектор-функций g(r) = {g1(r); g2(r)} с такими свойствами: 1) вектор функция f(r) = {[g1(r)]; [g2(r)]} непрерывная на множестве I1; 2) функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжения

            , j = 1, 2.             (15)

и краевым условиям

                       = 0, .                       (16)

          Поскольку ГДО M(a) самосопряженный и имеет одну особую точку r = 0, то его спектр действительный и непрерывный [4]. Можно считать, что спектральный параметр b Î (0, ¥). Ему соответствует спектральная вектор-функция

          V(a)(r, b)  = q(r)q(R1 – r) V(a); 1(r, b) + q(r – R1)q(R2 – r) V(a); 2(r, b) Î G.

          Функции V(a); j(r, b) найдем как ненулевое решение сепаратной системы дифференциальных уравнений

                               , r Î (0, R1),                              

                              , r Î (R1, R2),                               (17)

удовлетворяющее условиям сопряжения (15) и краевым условиям (16), bj(b) = (b2 + )1/2,  ³ 0, j = 1, 2.

Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ()v = 0 образуют функции  и  [1]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ()v = 0 образуют функции v1 = cos(b2lnr) и v2 = sin(b2lnr) [2].

Если положить

V(a); 1(r, b) = A1 + B1,

V(a); 2(r, b) = A2 cos(b2 lnr) + B2 sin(b2 lnr),                                    (18)

То условия сопряжения ()16  и краевое условие в точке r = R2 для определения четырех неизвестных Aj, Bj (j = 1, 2) дают алгебраическую систему из трех уравнений:

,

, j = 1, 2.                                              (19)

      В системе (19) принимают участие функции:

;

,

.

      Разрешая систему (19) стандартным способом [5] и подставляя полученные значения Aj, Bj в равенства (18) имеем компоненты  

V(a); 1(r, b) = w(a); 1(b) – w(a); 2(b)],

V(a); 2(r, b) = [cos(b2 lnr) – – sin(b2 lnr)].                  (20)        

      В равенствах (20) приняты обозначения:

      , w(a); j(b) = – ,

       = ; j = 1, 2.

      Введем в рассмотрение спектральную плотность

W(a)(b) = 2b (shpb1)–1([w(a); 1(b)]2 + [w(a); 2(b)]2)–1

и весовую функцию

s(r) = q(r) q(R1 – r) s1  + q(r – R1) q(R2 – r)s2r, s1 = 1,

Наличие спектральной функции V(a)(r, b), весовой функции s(r) и спектральной плотности W(a)(b) дает возможность определить прямое H(a) и обратное  гибридное интегральное преобразование (ГИП), порожденное на множестве I1 ГДО M(a) [4]:

,                      (21)

 Î G.                             (22)

В основе применения ГИП (H(a), ) для решения соответствующих задач лежит основное тождество интегрального преобразования ГДО M(a):

 –   +

++,

.                                                (23)

Построенное методом ГИП (H(a), ) по известной логической схеме [4], единственное решение краевой задачи (1) – (3) имеет структуру:

 +

+  +               (24)

      ++ +

      +   ,

q2 = max{; }, j = 1, 2.

Сравнивая решения (13)и (24) в силу единственности, получаем такие формулы вычисления полипараметрических несобственных интегралов:

 = , j, k = 1, 2,                (25)

 = , j = 1, 2,      (26)

 = , j = 1, 2,                    (27)

 = –, j = 1, 2.                 (28)

Функции влияния H(a); jk(r, r, q) определены по формулам (10), функции Грина  – по формулам (11), а функции Грина W(a); 2j(r, q) – по формулам (12).

Если q2 = , то ,  ³ 0. В этом случае b1 = b, b2 = . Если q2 = , то , . В этом случае b2 = b, b1 = .

Итогом изложенного выше есть утверждение.

Теорема. Если функция g(r) Î G, имеют место неоднородные краевые условия (2), неоднородные условия сопряжения (3) и выполняется условие (9) однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3), то справедливы формулы (25) – (28) вычисления полипараметрических несобственных интегралов по собственным элементам ГДО M(a), определенного равенствами (14).

 

          ЛИТЕРАТУРА

1.     Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.

2.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра).Частина 1.–Тернопіль:Економ. думка,2004.–368 с.

5.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.