Применение метода конечных объёмов
к задаче обтекания сферы

Математика/ Математическое моделирование

Академик РАН А.М. Липанов, аспирант А.Н. Семакин

Институт прикладной механики УрО РАН

Применение метода конечных объёмов

к задаче обтекания сферы

1. На данный момент процесс обтекания сферы потоком вязкой жидкости или газа достаточно хорошо изучен, имеется значительное количество экспериментальных данных [1-4]. Поэтому задачу обтекания сферы можно рассматривать в качестве тестовой для апробации различных новых численных методик решения задач механики жидкости и газа. В [5] предложен достаточно простой с точки зрения реализации метод исследования течения жидкости или газа в многосвязных областях путём деления исследуемой области на определённое число подобластей (конечных объёмов, КО) более простой структуры, в каждом из которых вводится собственная система координат и формулируется система уравнений гидромеханики. Для проверки работоспособности его теоретических положений использовалась задача обтекания сферы вязким газом.

2. Расчётная область представляет собой шар радиуса 7.8, в который помещена сфера радиуса 0.5. Расстояние от сферы до внешней границы составляет 14 радиусов. Согласно [5] данная расчётная область делится на 6 конечных объёмов. На рис. 1 приведено данное деление в вертикальной плоскости симметрии. В каждом таком КО вводится собственные локальные декартовая и криволинейная системы координат, связанные соотношениями:

, , , где , .

В данной локальной системе координат формулируется система уравнений гидромеханики в безразмерной форме, включающая уравнение неразрывности, три уравнения импульса и уравнение энергии. При её интегрировании по времени использовался метод Рунге-Кутта второго порядка точности, при аппроксимации пространственных производных применялась центральная разностная схема произвольного порядка точности. После проведения очередного шага по времени из одного КО в другой передаются необходимые для дальнейших расчётов значения гидромеханических параметров (скорость, плотность и температура) с помощью интерполяции отрезком ряда Фурье по ортогональным многочленам степени не выше второй.

Число Маха бралось 0.1. В этом случае результаты расчётов должны приблизительно совпадать с данными для несжимаемой жидкости и, следовательно, значения , полученные путём расчётов, можно сравнивать со стандартной кривой коэффициента сопротивления сферы несжимаемой жидкости, аппроксимируемой зависимостью [1, 2]:

, .

3. В табл. 1 представлена сходимость коэффициента сопротивления сферы в зависимости от количества точек и порядка точности разностной схемы по пространственным переменным при . В первой колонке указывается используемая разностная сетка, причём первая цифра 6 означает, что данная сетка применяется в каждом из шести КО. Из табл. 1 видно, что при расчёте по разностной схеме с шестым порядком точности значение , полученное на самой грубой сетке при дальнейшем увеличении точек практически не меняется, т.е. для определения коэффициента сопротивления сферы при расчётах с шестым порядком достаточно использовать самую грубую разностную сетку.

В табл. 2 приведены результаты расчётов при различных числах Рейнольдса на сетке 6301313 по схеме шестого порядка точности. В табл. 2 - значение коэффициента сопротивления, полученного в ходе расчётов, - значение, полученное по аппроксимационной зависимости. Из данной таблицы видно, что значения , полученные в ходе расчётов, хорошо соответствуют стандартной кривой коэффициента сопротивления.

Также при числах Рейнольдса 50, 100 и 250 были измерены длина отрывной зоны за сферой и угол отрыва потока. Длина отрывной зоны составила 0.4, 0.8, 1.1, а угол отрыва - 41, 52, 65, соответственно. Эти результаты полностью согласуются с данными, приведёнными в [1,4], но занижены по сравнению с [2].

На рис. 2 представлено поле скоростей за сферой при и . На рис. 3 приведены линии тока в этой же области для тех же чисел Рейнольдса. При проведении расчётов были получены следующие результаты. Когда число Рейнольдса не превышало 300, за сферой получалось стационарное вихревое кольцо с осью симметрии , размеры которого росли с ростом . Начиная примерно с , течение за сферой становится нестационарным и носит периодический характер изменений. Если рассматривать этот процесс в плоскости , то получается следующее. В нижней части области за кормой сферы на некотором удалении от неё возникает вихрь значительного размера. Этот вихрь с течением времени приближается к поверхности сферы, одновременно уменьшаясь в размере и смещаясь вверх. Через некоторый промежуток времени он исчезает. В верхней части кормового пространства за сферой также генерируется вихрь, но в отличие от нижнего вихря его размеры малы. Далее этот вихрь увеличивается в размере и отрывается от сферы. Указанный процесс для обоих вихрей повторяется периодически.

4. Основной вывод работы – метод конечных объёмов даёт правильные результаты, соответствующие данным, полученным другими методами, и может быть использован при моделировании течения вязкого газа.

Список литературы:

1. Горохов М.М. Математическое моделирование обтекания и горения гранул твёрдого топлива в турбулентных потоках: Дис… д-ра физ.-матем. наук. – Ижевск, 2005. – 258 с.

2. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами / Под ред. Л.Е. Стернина. – М.: Машиностроение, 1980. – 184 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1974. – 712 с.

4. Гущин В. А., Матюшин П. В. Численное моделирование пространственных отрывных течений // Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике: Сб. трудов конференции (Ижевск, 1996). – Ижевск: ИПМ УрО РАН, 1996. – с. 44–61.

5. Липанов А.М. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях //Математическое моделирование. – 2006. - т.18. - № 12. - с. 3-18.

Таблица 1

Сходимость коэффициента сопротивления сферы