Ващенко Г.В, Манашев Г.Г.

Сибирский государственный технологический университет, Россия

Красноярская государственная медицинская академия

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ДИАГРАММЫ ХАУЛЕЯ-ГЕРБЕРА-ГЕРБСТА

Одним из геометрических методов построения конструкции нормального зубного ряда является метод Хаулея – Гербера - Гербста [1]. Основу метода составляет построение кривой (дуги) расположения шести фронтальных зубов и боковых ветвей зубного ряда. При этом радиус дуги равен значению суммарной ширины трех фронтальных зубов - первого и второго резца и клыка, а боковые ветви строятся геометрически исходя из предположения о том, что форма верхнего зубного ряда подобна эллипсу, малая полуось которого находится в области 7-х зубов. Для практического применения конструкции требуется несколько ее экземпляров, формируемых на основе суммарных значений (разной) ширины зубов.

Для автоматизации процесса построения конструкции нормального следу-ет получить зависимость параметров кривой от суммарной ширины трех фронтальных зубов. Эту ширину можно измерить.

С геометрической точки зрения под кривой Хаулея – Гербера - Гербста нормального зубного ряда понимается кривая, построенная с помощью двух внутренне касающихся окружностей, радиусы которых удовлетворяют соотношению r₂ - r₁ = d, где r₁, r₂ - радиусы внутренней и внешней окружнос-тей, d - расстояние между центрами этих окружностей, а точка касания окруж-ностей лежит на линии центров.

В работе [1] описан геометрический способ построения данной кривой, который, в общем случае, составляет решение двух геометрических задач на построение:

1) построение окружности, касающейся заданной точки и заданной прямой с фиксированной на ней точкой;

2) построение касательной к заданной окружности через фиксированную на этой окружности точку.

В настоящей работе рассмотрен алгоритм, позволяющий автоматизиро-вать построение кривой Хаулея – Гербера -Гербста и использующий один параметр: суммарную ширину трех фронтальных зубов, в качестве входного.

Основу алгоритма составляют аналитические зависимости всех необходи-мых для построения параметров от одного входного h - суммарной ширины трех фронтальных зубов. Согласно геометрическому построению Хаулея –Гербера - Гербста длина этой дуги будет равна L = jh, где j - центральный угол дуги, радиус r₂ большого круга связан с h соотношением

r₂ = h, радиус r₃ для построения боковых ветвей определяется зависи-мостью

r₃ = p , где z = 1 + 2, a = 5/3.

Радиусы боковых ветвей равны в силу предполагаемой симметрии кривой относительно вертикали, содержащей r₂ и r₁ и являющейся, по сути, большой полуосью эллипса.

Полученные результаты дают возможность получения нормальной кривой и аналитически. При этом для практических расчетов допустимым значением z может быть величина 3.5819888.

Максимальная оценка погрешности величины z может быть получена, например, с помощью полинома Лагранжа [4]

½D½= MP_{n +1}/(n + 1)!.

Литература

1. Калвелис P.Р. Ортодонтия. репринт, Элиста, 1994. – 187 с.

2. Щербаков А.А., Гаврилов Е.И. Ортопедическая стоматология. Спб., ИКФ «Фолиант», 1997. – 565 с.

3. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. М., Мир, 1989.- 478 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632 с.