Омельченко Василь Анатолійович

Студент групи МІ-5

педагогічно-індустріального факультету

ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький педагогічний

університет імені Григорія Сковороди»

секція «Педагогіка»

Ірраціональні рівняння та нерівності в шкільному курсі алгебри: методичний аспект

Поняття рівняння відноситься до однієї з найважливіших загально-математичних понять. Саме тому важко запропонувати його визначення, яке одночасно і точне з формальної точки зору, і доступне для учнів, які приступили до оволодіння шкільним курсом алгебри. Цим аспектам проблеми і присвячена дана публікація.

Логіко-математичне визначення рівняння можна привести в такій формі: нехай на множині М зафіксований набір операцій алгебри, х — змінна на М; тоді рівнянням на множині М відносно х називається предикат виду а(х) = b(х), де а(х) і b (х) — змінні відносно заданих операцій, в запис яких входить символ х. Аналогічно визначається рівняння від двох змінних і т.д.

У загальноосвітній школі складно подати одночасно чітке і доступне для сприймання учнями означення рівняння. Тому рівняння трактують як рівність, що містить невідоме. Відразу запроваджується означення кореня рівняння як числа, за якого рівняння перетворюється на правильну рівність. Розв'язати рівняння означає знайти всі його корені.

Означення 1. Рівнянням з однією змінною х (або з одним невідомим х) називають рівність виразів і , що визначені відповідно на множинах і , і для якої поставлено завдання відшукати множину всіх значень з таких, щоб вирази і мали однакові числові значення.

Означення 2. Рівнянням з однією змінною х (або з одним невідомим х) називають рівність двох аналітично заданих функцій і з областями визначення і і областями значень і , де , , для якої поставлено завдання відшукати всі значення з такі, при яких обидві функції мали однакові числові значення.

Означення 3. Предикат з множиною визначення , для якого поставлено завдання знайти множину істинності , називають рівнянням з однією змінною х (або з одним невідомим х).

Аналогічно можна означити і поняття рівняння з кількома змінними, тільки вирази (або функції, або предикати) у цьому випадку треба розглядати з кількома змінними:

і .

Вибір підходу до означення рівняння в школі залежить від вікових особливостей учнів і рівня їхньої підготовки, від форми навчання (факультативи, класи з поглибленим вивченням предмета) та від інших факторів.

В основній масовій школі найпростішим для сприймання є перше означення, оскільки з родовим поняттям „вираз“ учні знайомляться значно раніше, ніж “функція” або “предикат”.

Розв'язати рівняння означає знайти усі корені або довести, що їх немає.

Два рівняння називаються рівносильними (або еквівалентними), якщо всі розв'язки першого рівняння є розв'язками другого і, навпаки, всі розв'язки другого рівняння є розв'язками першого. До рівносильних рівнянь належать також рівняння, що не мають розв'язків.

Теореми про рівносильні рівняння.

Теорема 1. Якщо до обох частин рівняння додати будь-який вираз, що має смисл при всіх допустимих значеннях невідомого; одержане рівняння і є рівносильне до даного.

Наслідки з теореми 1:

1) Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Теорема 2. Обидві частини рівняння можна помножити на будь-який вираз, що має смисл і не дорівнює нулю при всіх допустимих значеннях невідомого; одержане рівняння буде рівносильне до даного.

Зокрема, якщо обидві частини рівняння помножити на те саме число, що не дорівнює нулю, то одержимо рівняння , рівносильне до даного.

Ділення на будь-яке число, відмінне від нуля, можна розглядати як множення на число, обернене до даного. Тому обидві частини рівняння можна також і поділити на те саме число, відмінне від нуля.

Наслідки з теореми 2:

1) Знаки всіх членів рівняння можна змінити на протилежні (це те саме, що множення обох частин рівняння на -1).

2) Рівняння, у якому числові коефіцієнти всіх чи деяких членів - дробові числа, можна замінити рівносильним до нього рівнянням з цілими коефіцієнтами (для цього обидві частини рівняння треба помножити на найменше спільне кратне знаменників дробових коефіцієнтів).

Отже, у тлумаченні понять числової нерівності та нерівності зі змінною можливі різні методичні підходи. Тривалий час у шкільних підручниках обмежувалися геометричним тлумаченням числової нерівності: число а називали більшим за число b, якщо точка, що зображує число а на координатній прямій, міститься праворуч від точки, що зображує число b. У процесі систематичного вивчення нерівностей у курсі алгебри формулювалось і доводилось твердження про властивість числових нерівностей: число а більше за число b, якщо різниця a - b є додатним числом, і число а менше від числа b, якщо різниця а - b є від'ємним числом; навпаки, якщо різниця а - b є додатним числом, то число а більше за число b і якщо різниця а - b є від'ємним числом, то число а менше від числа b.