2 Механика
С.Р. ГИРНИС
Павлодарский государственный университет им. С.
Торайгырова, Павлодар, Казахстан, e-mail:girnis@mail.ru.
ЗАДАЧА О БЕГУЩЕЙ
ВНУТРИ ЗАКЛЮЧЕННОГО В ТОНКОСТЕННУЮ ОБОЙМУ ЦИЛИНДРА НАГРУЗКЕ В УПРУГОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи о движении
жесткого тела внутри цилиндра, заключенного в упругую обойму рассматривались в
статьях [1,2]. В настоящей работе решена задача о бегущей по внутренней поверхности
такого цилиндра нагрузке в упругом пространстве. Данная задача является
модельной при исследовании динамики тоннелей глубокого заложения, подкрепленных
двухслойной цилиндрической оболочкой (обделкой) [3].
Рассмотрим цилиндрическую полость радиусом
в бесконечной,
линейно-упругой, однородной и изотропной среде. Полость подкреплена двухслойной
оболочкой, внешним слоем которой является тонкостенная оболочка (упругая
обойма) толщиной
, а внутренним – толстостенная оболочка (цилиндр) с радиусом
внутренней поверхности
. В силу малости толщины обоймы можно принять, что она
контактирует с цилиндром и окружающим массивом вдоль своей срединной
поверхности. Контакт между
слоями оболочки, а также контакт между оболочкой и окружающим её массивом будем
полагать либо жёстким, либо скользящим. По внутренней поверхности оболочки в
направлении ее оси
с постоянной
скоростью
(меньшей, чем скорости распространения волн
сдвига в цилиндре и массиве) движется нагрузка
.
Так как
рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по
отношению к движущейся нагрузке. Поэтому для решения задачи можно ввести
подвижную цилиндрическую систему
координат , связанную с
нагрузкой.
Для описания движения упругой обоймы воспользуемся
классическими уравнениями теории тонких оболочек
(1)
где ,
,
– перемещения точек
срединной поверхности обоймы в направлении осей цилиндрической системы
координат
,
,
;
,
– составляющие реакции
цилиндра и массива (j = h, q, r);
,
– компоненты
тензора напряжений в цилиндре и массиве;
–
соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала обоймы;
– оператор
Лапласа.
Для описания движения цилиндра и
окружающей среды используем динамические уравнения теории упругости
. (2)
Здесь и в дальнейшем индекс k=1
относится к массиву, а k=2 – к цилиндру; – числа Маха;
,
– скорости
распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде и внешнем слое
оболочки;
,
– модули
сдвига,
– коэффициенты
Пуассона,
– плотности,
– векторы
смещений точек пространства и цилиндра.
Выражая векторы
смещений через потенциалы Ламе
, (3)
преобразуем
уравнения (2) к виду
, (4)
где .
Выразим компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС)
оболочки и массива через потенциалы jjk.
Компоненты вектора uk (3):
,
, (5)
,
где .
Используя закон Гука и соотношения (5), получаем
выражения для компонент тензора напряжений
,
,
,
, (6)
,
.
Применив
к (4) преобразование Фурье по , находим
, (7)
где – двумерный оператор
Лапласа,
,
.
Применив к (5), (6) преобразование Фурье
по , можно получить
выражения для трансформант перемещений
и напряжений
(
) в цилиндрической
системе координат как
функции от
.
Так как скорость движения нагрузки меньше,
чем скорости распространения волн сдвига в цилиндре и среде, то
, и решения (7) можно представить в виде:
- для массива
, (8,а)
- для цилиндра
. (8,б)
Здесь
,
;
– функции Бесселя
первого и второго рода от мнимого аргумента,
– неизвестные коэффициенты,
подлежащие определению.
Подставляя (8,а), (8,б) в выражения
для трансформант перемещений и напряжений
, можно получить новые выражения для
и
с неизвестными коэффициентами
, для определения которых следует воспользоваться граничными
условиями.
Применив
к (1) преобразование Фурье по и разлагая функции перемещений точек
срединной поверхности упругой обоймы в ряды Фурье по
, для
-го члена разложения получим
(9)
,
где
;
,
,
;
– коэффициенты разложения
в ряды Фурье по
угловой координате
.
Разрешая (9) относительно ,
,
, находим
(10)
.
Здесь
,
для qnj и индекс j = 1
соответствует индексу h, j = 2
– q, j = 3
– r.
Граничные
условия можно представить в следующем виде:
а) при жестком
сопряжении обоймы с цилиндром:
- в случае скользящего контакта обоймы
с массивом
при
,
,
,
,
при
,
,
- в случае жёсткого контакта обоймы с
массивом
при
,
,
при
,
;
б) при скользящем
сопряжении обоймы с цилиндром:
- в случае скользящего контакта обоймы
с массивом
при
,
,
,
,
,
,
при
,
,
- в случае жёсткого контакта обоймы с
массивом
при
,
,
,
,
при
,
.
Здесь ,
.
Разлагая в ряды Фурье по
угловой координате q и приравнивания коэффициенты рядов при
, получим бесконечную систему линейных алгебраических
уравнений для определения коэффициентов. После определения коэффициентов
, применяя обратное преобразование Фурье, можно
вычислить компоненты напряженно-деформированного состояния среды и оболочки.
При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный
метод, если определитель
полученной для
конкретных граничных условий системы уравнений не обращается в ноль. В общем
случае для любых
аналитическое
исследование
затруднительно.
Численные исследования
в задачах о
движущейся вдоль оси подкреплённой полости осесимметричной нормальной нагрузке
в упругом пространстве [4] показали, что может существовать дозвуковая
критическая скорость
, при которой в двух точках
.
При существуют четыре
особые точки
, в которых
.
В этих случаях, как доказано в [4], нарушены условия
единственности решения, что можно трактовать как неустойчивость. При переходе
через появляется класс
решений, содержащий незатухающие гармонические поверхностные волны. Амплитуда
этих волн зависит от действующей нагрузки, постоянна вдоль оси
и экспоненциально
затухает при
.
При для любых
. В этом случае допустимо прямое и обратное преобразование
Фурье и полученные соотношения решают поставленную задачу.
Литература:
1. Пожуев В.И. Движение жесткого тела внутри
цилиндра, заключенного в упругую обойму //Прикл. проблемы прочности и
пластичности. Горький. 1982. Вып. 22. С. 44-50.
2. Пожуев В.И. Движение жесткого вращающегося тела
вдоль цилиндра, заключенного в упругую обойму //Изв. вузов.
Машиностроение. 1983. № 6. С.18-22.
3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в
примерах и задачах. М. 1989. 270 с.
4. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. критическая скорость движущейся нагрузки
в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. 1987. № 4. С.156-161.