2 Механика

С.Р. ГИРНИС

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар, Казахстан, e-mail:girnis@mail.ru.

ЗАДАЧА О БЕГУЩЕЙ ВНУТРИ ЗАКЛЮЧЕННОГО В ТОНКОСТЕННУЮ ОБОЙМУ ЦИЛИНДРА НАГРУЗКЕ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Задачи о движении жесткого тела внутри цилиндра, заключенного в упругую обойму рассматривались в статьях [1,2]. В настоящей работе решена задача о бегущей по внутренней поверхности такого цилиндра нагрузке в упругом пространстве. Данная задача является модельной при исследовании динамики тоннелей глубокого заложения, подкрепленных двухслойной цилиндрической оболочкой (обделкой) [3].

Рассмотрим цилиндрическую полость радиусом в бесконечной, линейно-упругой, однородной и изотропной среде. Полость подкреплена двухслойной оболочкой, внешним слоем которой является тонкостенная оболочка (упругая обойма) толщиной , а внутренним – толстостенная оболочка (цилиндр) с радиусом внутренней поверхности . В силу малости толщины обоймы можно принять, что она контактирует с цилиндром и окружающим массивом вдоль своей срединной поверхности. Контакт между слоями оболочки, а также контакт между оболочкой и окружающим её массивом будем полагать либо жёстким, либо скользящим. По внутренней поверхности оболочки в направлении ее оси с постоянной скоростью (меньшей, чем скорости распространения волн сдвига в цилиндре и массиве) движется нагрузка .

Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому для решения задачи можно ввести подвижную цилиндрическую систему координат , связанную с нагрузкой.

Для описания движения упругой обоймы воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек

(1)

где , , – перемещения точек срединной поверхности обоймы в направлении осей цилиндрической системы координат , , ; , – составляющие реакции цилиндра и массива (j = h, q, r); , – компоненты тензора напряжений в цилиндре и массиве; – соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала обоймы; – оператор Лапласа.

Для описания движения цилиндра и окружающей среды используем динамические уравнения теории упругости

. (2)

Здесь и в дальнейшем индекс k=1 относится к массиву, а k=2 – к цилиндру; – числа Маха; , – скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде и внешнем слое оболочки; , – модули сдвига, – коэффициенты Пуассона, – плотности, – векторы смещений точек пространства и цилиндра.

Выражая векторы смещений через потенциалы Ламе

, (3)

преобразуем уравнения (2) к виду

, (4)

где .

Выразим компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочки и массива через потенциалы j_jk.

Компоненты вектора u_k (3):

,

, (5)

,

где .

Используя закон Гука и соотношения (5), получаем выражения для компонент тензора напряжений

,

,

,

, (6)

,

.

Применив к (4) преобразование Фурье по , находим

, (7)

где – двумерный оператор Лапласа, , .

Применив к (5), (6) преобразование Фурье по , можно получить выражения для трансформант перемещений и напряжений () в цилиндрической системе координат как функции от .

Так как скорость движения нагрузки меньше, чем скорости распространения волн сдвига в цилиндре и среде, то , и решения (7) можно представить в виде:

- для массива

, (8,а)

- для цилиндра

. (8,б)

Здесь , ; – функции Бесселя первого и второго рода от мнимого аргумента, – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (8,а), (8,б) в выражения для трансформант перемещений и напряжений , можно получить новые выражения для и с неизвестными коэффициентами , для определения которых следует воспользоваться граничными условиями.

Применив к (1) преобразование Фурье по и разлагая функции перемещений точек срединной поверхности упругой обоймы в ряды Фурье по , для -го члена разложения получим

(9)

,

где

;

, , ; – коэффициенты разложения в ряды Фурье по угловой координате .

Разрешая (9) относительно , , , находим

(10)

.

Здесь

,

для q_nj и индекс j = 1 соответствует индексу h, j = 2 – q, j = 3 – r.

Граничные условия можно представить в следующем виде:

а) при жестком сопряжении обоймы с цилиндром:

- в случае скользящего контакта обоймы с массивом

при , , , ,

при , ,

- в случае жёсткого контакта обоймы с массивом

при , ,

при , ;

б) при скользящем сопряжении обоймы с цилиндром:

- в случае скользящего контакта обоймы с массивом

при , , , , , ,

при , ,

- в случае жёсткого контакта обоймы с массивом

при , , , ,

при , .

Здесь , .

Разлагая в ряды Фурье по угловой координате q и приравнивания коэффициенты рядов при , получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов. После определения коэффициентов , применяя обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты напряженно-деформированного состояния среды и оболочки. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной для конкретных граничных условий системы уравнений не обращается в ноль. В общем случае для любых аналитическое исследование затруднительно. Численные исследования в задачах о движущейся вдоль оси подкреплённой полости осесимметричной нормальной нагрузке в упругом пространстве [4] показали, что может существовать дозвуковая критическая скорость , при которой в двух точках

.

При существуют четыре особые точки , в которых

.

В этих случаях, как доказано в [4], нарушены условия единственности решения, что можно трактовать как неустойчивость. При переходе через появляется класс решений, содержащий незатухающие гармонические поверхностные волны. Амплитуда этих волн зависит от действующей нагрузки, постоянна вдоль оси и экспоненциально затухает при .

При для любых . В этом случае допустимо прямое и обратное преобразование Фурье и полученные соотношения решают поставленную задачу.

Литература:

1. Пожуев В.И. Движение жесткого тела внутри цилиндра, заключенного в упругую обойму //Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький. 1982. Вып. 22. С. 44-50.

2. Пожуев В.И. Движение жесткого вращающегося тела вдоль цилиндра, заключенного в упругую обойму //Изв. вузов. Машиностроение. 1983. № 6. С.18-22.

3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах. М. 1989. 270 с.

4. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. № 4. С.156-161.