М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»

Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Фур´є, Ейлера, Конторовича - Лєбєдєва)

1. Скінченне гібридне інтегральне перетворення Фур´є – Ейлера – (Конторовича - Лєбєдєва) на полярної осі

Побудуємо інтегральне перетворення, породжене на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(1)

У рівності (1.1) - одинична функція Гевісайда [1], - диференціальний оператор Фур'є [2], - диференціальний оператор Ейлера [2], -

диференціальний оператор Конторовича – Лєбєдєва [3];

Означення. За область задання ГДО приймемо множину G вектор-функцій з такими властивостями:

1) вектор-функція неперервна на множині;

2) функції задовольняють крайові умови

(2)

3) функції задовольняють умови спряження

(3)

Визначимо числа

вагову функцію

(4)

та скалярний добуток

(5)

Тут вектор-функції .

Нагадаємо, що для та має місце базова тотожність [4]:

, (6)

Переконаймося, що ГДО самоспряжений оператор.

Згідно правила (5) маємо: для

(7)

Проінтегруємо в рівності (7) частинами два рази під знаками інтегралів:

(8)

В силу крайової умови в точці при

(9)

Внаслідок вибору та й наявності базової тотожності (6) знаходимо, що:

1) (10) 2) (11)

В силу умови обмеженості при маємо:

, якщо (12)

У результаті співвідношень (9)-(12) рівність (8) набуває вигляду:

(13)

Рівність (13) означає, що ГДО самоспряжений. Отже, спектр ГДО дійсний. Оскільки ГДО не має на множині особливої точки, то його спектр дискретний [5].

Для знаходження власних елементів ГДО (власних чисел і відповідних їм власних вектор-функцій) розглянемо спектральну задачу Штурма - Ліувілля: знайти на множині ненульовий розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Конторовича – Лєбєдєва:

,,

,, (14)

,,

за крайовими умовами (2) та умовами спряження (3).

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є складають функції та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Конторовича – Лєбєдєва складають функції та [3].

Якщо в силу лінійності задачі (1.4), (1.2), (1,3) покласти

(15)

то для визначення величин та отримуємо однорідну алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:

(16)

Введемо до розгляду функції:

Алгебраїчна система (16) має ненульові розв´язки тоді й тільки тоді, коли визначник системи рівний нулю [6]:

(17)

Одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел ГДО , визначеного рівністю (1).

Підставимо в систему (16) і відкинемо перше рівняння системи внаслідок лінійної залежності. При для визначення отримаємо алгебраїчну систему:

(18)

Визначник алгебраїчної системи (18) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (18) має єдиний розв´язок [6]:

(19)

При відомих для визначення маємо алгебраїчну систему:

(20)

Визначник алгебраїчної системи (1.20) підраховується безпосередньо:

Алгебраїчна система (1.20) має єдиний розв´язок [6]:

(21)

Підставимо визначені згідно формул (19) та (21) величини та у рівності (15). Отримуємо функції:

(22)

З цим спектральна вектор-функція стає відомою:

Нагадаємо, що ми вважаємо виконаними умови на коефіцієнти:

Введемо до розгляду квадрат норми власної функції:

(23)

Згідно з роботою справедливі такі твердження:

Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені трансцендентного рівняння складають дискретний спектр ГДО дійсні, різні, симетричні відносно й на піввісі утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною точкою згущення

Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних вектор-функцій ортогональна на множині з ваговою функцією повна й замкнена.

Теорема 3 ( про зображення рядом Фур'є). Будь-яка вектор-функція зображається за системою рівномірно й абсолютно збіжним на множині рядом Фур'є:

(24)

Перейдемо до ортонормованої системи функцій:

Ряд Фур'є (24) набуде вигляду:

(25)

Ряд Фур'є (25) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на полярній осі з двома точками спряження ГДО

(26)

(27)

Визначимо величини та функції:

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

,(28)

та умови спряження

(29)

то справджується основна тотожність СГІП ГДО

+ (30)

Доведення. Згідно правила (26)

(31)

Проінтегруємо в рівності (31) під знаками інтегралів два рази частинами:

(32)

Якщо , то

(33)

В силу базової тотожності для випадку неоднорідності умов спряження одержуємо:

1) в точці

(34)

тому, що в силу вибору вираз

2) в точці

(35)

тому, що в силу вибору вираз

Внаслідок співвідношень (33)-(35) рівність (32) набуває вигляду

(36)

Оскільки

то рівність (36) співпадає з рівністю (30).

Одержані правила (26), (27) та (30) складають математичний апарат для одержання інтегрального зображення точного аналітичного розв'язку алгоритмічного характеру достатньо широкого класу стаціонарних і нестаціонарних задач математичної фізики кусково-однорідних середовищ за логічною схемою наступних прикладів.

Задача 1. (потенціал напруги електростатичного поля). Побудуємо обмежений в області розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь еліптичного типу [8]

(37)

за крайовими умовами

(38)

та умовами спряження

(39)

Розв'язання: Запишемо систему (37) в матричній формі:

(40)

Інтегральний оператор згідно правила (26) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

(41)

Застосуємо операторну матрицю-рядок (41) за правилом множення матриць до системи (40). Внаслідок основної тотожності (30) одержуємо задачу: побудувати обмежений на декартовій осі розв'язок звичайного диференціального рівняння другого порядку

(42)

У рівності (42) бере участь функція

Припустимо, що , Покладемо всюди

Диференціальне рівняння (42) набуває вигляду:

(43)

Якщо функція буде мати при скінченне граничне значення або то обмеженим на декартовій осі розв'язком рівняння (43) є функція

(44)

Оператор згідно правила (27) як обернений до (41) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

(45)

Застосуємо операторну матрицю-стовпець (45) за правилом множення матриць до матриці-елемента , де функція визначена формулою (43). У результаті перетворень маємо єдиний розв'язок еліптичної задачі (37)-(39):

(46)

У рівностях (46) беруть участь головні розв'язки даної еліптичної задачі:

1) породжені неоднорідністю крайової умови в точці функції Гріна:

(47)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(48)

3) породжені неоднорідністю системи (37) функції впливу:

(49)

Задача 2. (дифузійні процеси). Побудувати обмежений в області розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічного типу [8]:

,

(50)

за початковими умовами

(51)

крайовими умовами

(1.52)

та умовами спряження

(53)

Розв'язання: Запишемо систему (50) й початкові умови (51) в матричній формі:

, (54)

Застосуємо до задачі (54) за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (41). Внаслідок основної тотожності (30) одержуємо задачу Коші [2]:

(55)

Розв'язком задачі Коші (55) є функція:

(56)

Тут - дельта-функція, зосереджена в точці а

Застосуємо до матриці-елемента , де функція визначена формулою (56), за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (45). У результаті елементарних перетворень одержуємо єдиний розв'язок параболічної задачі (50)-(53).

(57)

У рівностях (57) беруть участь головні розв'язки параболічної задачі (50)-(53):

1) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна:

(58)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(59)

3) породжені неоднорідністю системи (1.50) функції впливу:

(60)

Зауваження 1. Якщо то ,

якщо то якщо то

Зауваження 2. Одержані інтегральні зображення (46) та (57) аналітичних розв'язків еліптичної й параболічної задач носять алгоритмічний характер. Це дає можливість їх використовувати його як в теоретичних дослідженнях, так і в числових розрахунках.

Список використаних джерел

1. Шилов Г.Е. Математический аналіз. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965.- 328с.
2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений/ В.В. Степанов -М.: Физматгиз, 1959.-468с.
3. Ленюк М. П., Міхалевська Г. І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва.- Чернівці: Прут, 2002 – 280с.
4. Ленюк М. П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів. – Том VII. – Чернівці: Прут, 2010. – 424с.
5. Ленюк М.П., Шинкарик М. І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004.-368с.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры/ А.Г. Курош -М.: Наука, 1971.-432 с.
7. Комаров Г. М., Ленюк М. П., Мороз В. В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001.-228с.
8. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский-М.: Наука, 1972-735с.