К. ф.-м. н. Мирская Е.И., к. ф.-м. н. Марзан С.А.

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина,

Республика Беларусь

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МОМЕНТОВ ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Исследование статистических оценок спектральных плотностей является одной из классических задач анализа временных рядов. П.Уэлч предложил оценки спектральной плотности одномерного временного ряда, использующие блоки данных, которые могут пересекаться, что приводит к эффекту уменьшения дисперсии оценок. В данной работе в качестве оценки неизвестной спектральной плотности многомерного временного ряда исследована статистика, построенная по методу Уэлча.

Рассмотрим −мерный стационарный случайный процесс , с , с неизвестной взаимной спектральной плотностью . Пусть число наблюдений , где − число пересекающихся интервалов разбиения длины , _.

В качестве оценки неизвестной взаимной спектральной плотности процесса исследована статистика вида

, (1)

_.

Статистика , исследована в работе [1].

_{Вычислены первые два момента оценки (1). Доказана}

Теорема 1. Математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности , задаваемой соотношением (1), имеет вид

,

, (2)

а , задается выражением

. (3)

Доказано, что дисперсия оценки взаимной спектральной плотности , задаваемой соотношением (1), имеет вид

где − семиинвариантная спектральная плотность четвертого порядка, задаются следующими выражениями

,

а , задается соотношением (3).

Исследовано асимптотическое поведение математического ожидания и дисперсии оценки (1).

Теорема 2. Пусть взаимная спектральная плотность , ограничена на , непрерывна в точке , окна просмотра данных ограничены и имеют ограниченную вариацию, тогда

.

Таким образом, статистика, заданная соотношением (1), является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности процесса.

Теорема 3. Пусть взаимная спектральная плотность , непрерывна в точках и ограничена на , семиинвариантная спектральная плотность четвертого порядка ограничена на , тогда для оценки , задаваемой равенством (1), имеет место соотношение

, .

Проведен сравнительный анализ оценок (1) в зависимости от окон просмотра данных и числа интервалов разбиения наблюдений. Показано, что наиболее эффективным является использование окна Хэмминга. Доказано, что дисперсия оценки (1) уменьшается при увеличении числа интервалов разбиения исходной последовательности данных.

Список литературы

1. Труш, Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов / Н.Н. Труш. – Мн.: БГУ, 1999. – 218 с.