О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ПОДОБИЯ МАТРИЦ

Е.Н.Яковлева, Е.Ф.Пономарева

Лесосибирский педагогический институт – филиал СФУ, Россия

Матрица подобна матрице если существует такая неособенная матрица, что В этом случае говорят, что получается преобразованием матрицы при помощи матрицы .

Перенесем понятие подобия на кольцо целых чисел.

Будем говорить, что матрица подобна матрице над кольцом Z, если существует такая, что и , и обозначать это . При этом матрицу S будем называть Z-трансформирующей A в B матрицей.

Характеристические многочлены подобных матриц равны друг другу.

Следовательно, подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, т.к. и след, и определитель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.

Алгоритм определения подобия матриц над кольцом Z:

Пусть даны две матрицы

1. Находим Если , то не подобны. Если , то переходим к п.2.

2. Находим Если , то не подобны. Если, то переходим к п.3.

3. Пусть – характеристический многочлен матриц где Если приводим над т.е. имеет вид то переходим к п.4, в противном случае к п.5.

4. Находим векторы – собственные векторы матриц , соответствующие такие, что Находим такие векторы , что Далее раскладываем вектор по базису а вектор по базису . Получаем Обозначим Если то переходим к п.4.1, иначе к п.4.2.

4.1. Если , то . Если то Если то не подобны.

4.2. Считаем, что . Делим с остатком на . Получаем . Если , то Если то В противном случае не подобны.

5. Для неприводимого многочлена используется алгоритм, описанный в [2].

Пример. Определить подобие матриц .

1. Найдем следы матриц:

2. Найдем определители матриц:

3. Характеристический многочлен приводим ,

4. Находим векторы – собственные векторы матриц , соответствующие .

. Получили собственный вектор матрицы А – .

;

;

;

,

, таким образом, .

4.2. . Делим с остатком на , , .

Теперь найдем трансформирующую матрицу S, ,

Найдем произведения AS и SB:

, .

Так как , следовательно,

Ответ: .

Литература:

1. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1970.

2. Шевченко В.Н., Сидоров С.В. О подобии матриц второго порядка над кольцом целых чисел // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2006. - №4.