О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ
ПОДОБИЯ МАТРИЦ
Е.Н.Яковлева,
Е.Ф.Пономарева
Лесосибирский
педагогический институт – филиал СФУ, Россия
Матрица подобна матрице
если существует
такая неособенная матрица
, что
В этом случае говорят, что
получается
преобразованием матрицы
при помощи матрицы
.
Перенесем понятие подобия на кольцо целых чисел.
Будем говорить, что матрица подобна матрице
над кольцом Z,
если существует
такая, что
и
, и обозначать это
. При этом матрицу S будем называть Z-трансформирующей A в B матрицей.
Характеристические многочлены подобных матриц равны друг
другу.
Следовательно, подобные матрицы имеют одинаковые
следы и определители, т.к. и след, и определитель матрицы, взятые с надлежащими
знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.
Алгоритм определения подобия матриц над
кольцом Z:
Пусть даны две матрицы
1.
Находим
Если
, то
не подобны. Если
, то переходим к п.2.
2.
Находим
Если
, то
не подобны. Если
, то переходим к п.3.
3.
Пусть
– характеристический
многочлен матриц
где
Если
приводим над
т.е. имеет вид
то переходим к п.4, в
противном случае к п.5.
4.
Находим
векторы – собственные векторы матриц
, соответствующие
такие, что
Находим такие
векторы
, что
Далее раскладываем
вектор
по базису
а вектор
по базису
. Получаем
Обозначим
Если
то переходим к
п.4.1, иначе к п.4.2.
4.1. Если , то
. Если
то
Если
то
не подобны.
4.2. Считаем, что . Делим с остатком
на
. Получаем
. Если
, то
Если
то
В противном случае
не подобны.
5.
Для
неприводимого многочлена используется
алгоритм, описанный в [2].
Пример. Определить подобие матриц .
1.
Найдем
следы матриц:
2.
Найдем
определители матриц:
3.
Характеристический
многочлен приводим
,
4.
Находим
векторы – собственные векторы матриц
, соответствующие
.
. Получили собственный вектор матрицы А –
.
;
;
;
,
, таким образом,
.
4.2.
. Делим с остатком
на
,
,
.
Теперь найдем трансформирующую матрицу S,
,
Найдем произведения AS и SB:
,
.
Так как , следовательно,
Ответ: .
Литература:
1.
Мальцев
А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1970.
2.
Шевченко
В.Н., Сидоров С.В. О подобии матриц второго порядка над кольцом целых чисел //
Известия высших учебных заведений. Математика. - 2006. - №4.