Последовательный анализ в приложениях

Гарькина И.А., д.т.н. проф., Данилов А.М., д.т.н. проф.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

При синтезе материалов, исследовании свойств смесей, экспертизе зданий и сооружений [1] и т.д. часто возникает задача, аналогичная постановке врачом диагноза заболевания с последовательным добавлением все новых симптомов. Здесь число наблюдений, на основании которых принимается решение, заранее не фиксируется и зависит от результатов, полученных на данной стадии эксперимента (случайная выборка из генеральной совокупности). Так, если требуется разработать экономный план выборочного статистического контроля качества продукции при заданной предельно допустимой доле брака p_o, то можно извлечь n₁ изделий и оценить долю брака . Если окажется << p_o (или >> p_o), то принимается гипотеза о том, что истинная доля дефектных изделий (или соответственно альтернатива ); если же доля брака несущественно отличается от заданного порогового значения (находится в «зоне неопределённости» или «безразличия»), то принимается решение об извлечении второй выборки объёма n₂ и т.д. К такой последовательной схеме наблюдений целесообразно обращаться в ситуациях, когда каждое наблюдение является дорогостоящим или труднодоступным, и по условиям эксперимента исследователь имеет возможность реализовать эту схему. В последовательной процедуре вместо одного порога, как в классической процедуре, задаются два порога. Проверяемую гипотезу (основная, или нулевая) обозначают H_o, альтернативную (конкурирующее с ней предположение) - H₁. Вследствие ограниченности выборки, полученной из генеральной совокупности, по которой проверяется гипотеза H_o, возможны ошибки, как в ту, так и в другую сторону. В небольшой доле a случаев гипотеза H_o может оказаться отвергнутой, в то время как на самом деле она является справедливой, или, наоборот, в доле b случаев принимается гипотеза H_o, в то время, как она является ошибочной, а справедливой оказывается H₁. Вероятность a ошибочного отклонения гипотезы H_o (ошибка первого рода) называется уровнем значимости, или размером статистического критерия. Вероятность b принятия неправильной гипотезы H_o называется ошибкой второго рода. Выбор величины уровня значимости a зависит от сопоставления потерь вследствие ошибочных заключений. Чем весомее потери от ошибочного отказа от H_o, тем меньше выбирается a. Однако в большинстве практических задач такое сопоставление затруднительно. Часто принимается a = 0,05. Это означает, что в 5 случаях из 100 ошибочно отвергается гипотеза H_o .

Пусть произведена последовательная процедура оценки гипотез H_o и H₁ , и получилась последовательность выборок некоторого объёма. Рассмотрим подмножество выборок, которые приводили к гипотезе H₁ , и определим вероятность того, что последовательный процесс закончится принятием гипотезы H₁ (отклонением H_o). Эта вероятность в случае, когда на самом деле имеет место гипотеза H_o, и (1 - b), если на самом деле имеет место гипотеза H₁. Последнее положение следует из того, что по определению вероятность принятия H_o, когда верна H₁, равна b. В силу сходимости последовательной процедуры (за конечное число шагов n) можно утверждать, что вероятность отклонения H_o (принятия H₁), когда верна H₁, должна быть равна (1 - b). Но так как на каждом шаге, включая последний, справедливо соотношение p (x ½ H₁ ) ³ A_p (x ½ H_o ), то можно утверждать, что или . Отсюда следует, что величина является верхней границей для A; аналогично ; нижней границей величины B является . Практически последовательная процедура считается законченной, если выборка перестала попадать в область, определяемую неравенством

.

Пороги А и B удовлетворяют соотношению

0 < £ B £ 1 £ A £ .

Следует помнить, что неотрицательный результат статистической проверки гипотезы H_o не означает, что высказанное предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим. Из этого лишь следует, что она не противоречит имеющимся выборочным данным. При этом таким же качеством могут обладать, наряду с H_o, и другие гипотезы.

Указанный подход при участии авторов успешно применялся в клинической диагностике психиатрии и лечении алкоголизма, а также в задачах дооперационной диагностики и лечения митральных стенозов [2] (как решение статистической задачи распознавания образов). Из метода Байеса вытекает метод последовательного распознавания, позволяющего определить вероятности состояний при наличии комплекса признаков (симптомов) , вообще говоря, зависимых.

Как известно

.

При этом отношение

показывает, во сколько состояние вероятнее состояния .

Однако такой подход к использованию диагностической информации требует более длительных вычислений, чем необходимо при приемлемой надежности диагноза. Поэтому при выборе одной или нескольких диагностических гипотез с заранее намеченным уровнем надежности и используется последовательная диагностическая процедура. Здесь значение количества симптомов устанавливается исходя из заранее выбранных допустимых уровней диагностических ошибок (после достижения порога или принимается решение: «состояние » или «состояние »). При последовательной процедуре распознавания для пары () возможны варианты: состояние ; состояние ; имеющейся информации недостаточно для принятия решения с намеченным уровнем надежности (или существует промежуточное состояние между и ). Для принятия одного из решений правая часть последнего равенства сравнивается с диагностическим порогом. Если - ошибочная диагностика состояния, (риск заказчика), - ошибка пропуска состояния (риск изготовителя); - ошибки второго и первого родов, то отношение вероятностей правильных и ошибочных диагнозов состояний равно . Аналогично отношение ошибочных и правильных диагнозов . Если теперь , то принимается «состояние ». Если , то принимается «состояние ». Если , то последовательная процедура продолжается.

Указанная процедура эффективно использовалась и при изучении свойств материалов в области фазовых переходов [3].

Литература

1. Данилов А.М., Гарькина И.А. Теория вероятностей и математическая статистика с инженерными приложениями. Пенза: ПГУАС, 2010. -228 с.

2. Чагоров Н.В., Данилов А.М. Моделирование и диагностика различных форм митрального стеноза // Вестник аритмологии. №4. -1995. - С.54.

3. Данилов А.М., Гарькина И.А. Синтез материалов на основе анализа структурообразования композиционных материалов в области фазовых переходов // Воронеж: «Кибернетика и технологии XXI века», Институт системного анализа РАН, ИПУ РАН, 2003. - С.113-123