Канд. техн. наук., доцент Біланенко
В.Г., Огороднік С.В.
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут»
Математична
модель для визначення складових сили різання при обробленні титанових сплавів
без вершинними різцями
Оскільки оброблення титанових сплавів супроводжується
деякими проблемами, тому вони відносяться до важкооброблюваних матеріалів. Нами
запропонована математична модель, яка
визначає складові сили різання при обробленні титанових сплавів. Тобто знаючи
величину подачі та хімічного складу оброблюваного елементу можна визначити сили
різання, які будуть виникати в процесі токарного оброблення.
Для досягнення даної мети нами буде використовуватись
методи математичного моделювання.
Планування експерименту – розділ математичної статистики,
який займається формуванням оптимальних матриць експерименту. Планування
експериментів забезпечує отримання максимуму надійної інформації при обмежених
ресурсах.
Робастний план експерименту це план, який дозволяє
вибрати невідомі дослідникові структури “істинних”
статистичних моделей поліноміального виду, лінійних за параметрами, і отримати
адекватні моделі.
В цьому забезпечується:
-
Правильне визначення часткової структури рівняння
регресії;
-
Стійкість коефіцієнтів регресії;
-
Оцінки коефіцієнтів регресії з максимальною точністю.
У регресійному аналізі планування експериментів, як
правило, використовується для моделей, лінійних відносно параметрів: модель
ŷ має вигляд алгебраїчної суми довільних функцій (загальний вираз лінійний
відносно невідомих параметрів bi).
де 
- загальна кількість
ефектів (головних і взаємодій), введених в математичну модель.
Найбільш часто такими функціями виступають поліноми та
тригонометричні функції (ряд Фур’є) для періодичних процесів, але в загальному
випадку це можуть бути і довільні функції. Як правило в наукових і інженерних
дослідженнях використовують моделі, лінійні відносно параметрів.
Для побудови багатофакторної регресійної моделі для
визначення залежності сили різання від хімічного складу титанового сплаву було
використано наступні вихідні дані (див. табл..1):
Таблиця
1. Хімічний склад титанових сплавів
|
Елемент |
Вміст
елемента, % |
||||
|
Марка
титанового сплаву |
|||||
|
ВТ5 |
ВТ5-1 |
ВТ14 |
ВТ20 |
ВТ22 |
|
|
Алюміній |
4,000-5,500 |
5,400 |
4,700 |
6,900 |
5,200 |
|
Молібден |
- |
- |
3,400 |
1,750 |
5,100 |
|
Ванадій |
|
0,600 |
1,200 |
1,500 |
4,900 |
|
Цирконій |
- |
- |
0,250 |
2,100 |
- |
|
Хром |
- |
- |
- |
- |
1,100 |
|
Олово |
- |
2,500 |
- |
- |
- |
|
Кремній |
0,150 |
0,020 |
0,080 |
0,040 |
0,130 |
|
Залізо |
0,300 |
0,200 |
0,190 |
0,180 |
0,200 |
|
Вуглець |
0,100 |
0,030 |
0,040 |
0,020 |
0,020 |
|
Кисень |
0,150 |
0,120 |
0,110 |
0,150 |
0,070 |
|
Азот |
0,050 |
0,020 |
0,020 |
0,010 |
0,010 |
|
Водень |
0,015 |
0,003 |
0,004 |
0,015 |
0,015 |
|
Титан |
93,735 |
91,100 |
90,006 |
87,300 |
82,250 |
Таблиця
2. Вплив подачі на складові сили
різання
|
Величина подачі S, мм/об. |
Значення складових сили
різання при обробленні |
||||||||||||||
|
ВТ5 |
ВТ5-1 |
ВТ14 |
|||||||||||||
|
Рх |
Ру |
Рz |
Рх |
Ру |
Рz |
Рх |
Ру |
Рz |
|||||||
|
0,075 |
43 |
130 |
160 |
50 |
120 |
130 |
40 |
100 |
140 |
||||||
|
0,11 |
70 |
120 |
140 |
80 |
190 |
220 |
60 |
190 |
190 |
||||||
|
0,15 |
80 |
300 |
220 |
100 |
280 |
250 |
90 |
250 |
250 |
||||||
|
0,21 |
100 |
350 |
310 |
150 |
410 |
350 |
130 |
350 |
290 |
||||||
|
0,3 |
170 |
530 |
450 |
180 |
600 |
510 |
190 |
500 |
420 |
||||||
|
0,39 |
190 |
580 |
480 |
250 |
780 |
640 |
240 |
620 |
530 |
||||||
|
0,47 |
260 |
680 |
640 |
280 |
900 |
800 |
280 |
760 |
640 |
||||||
|
0,52 |
350 |
700 |
700 |
- |
- |
- |
320 |
- |
- |
||||||
|
Величина подачі S, мм/об. |
Значення складових сили
різання при обробленні |
||||||||||||||
|
ВТ20 |
ВТ22 |
|
|||||||||||||
|
Рх |
Ру |
Рz |
Рх |
Ру |
Рz |
|
|||||||||
|
0,075 |
30 |
100 |
180 |
40 |
270 |
220 |
|
||||||||
|
0,11 |
60 |
180 |
120 |
50 |
300 |
250 |
|
||||||||
|
20,15 |
100 |
430 |
230 |
70 |
380 |
330 |
|
||||||||
|
0,21 |
140 |
620 |
360 |
100 |
460 |
360 |
|
||||||||
|
0,3 |
210 |
980 |
450 |
130 |
600 |
530 |
|
||||||||
|
0,39 |
240 |
1160 |
700 |
200 |
800 |
680 |
|
||||||||
|
0,47 |
320 |
1400 |
700 |
260 |
1060 |
800 |
|
||||||||
|
0,52 |
320 |
1700 |
820 |
- |
- |
- |
|
||||||||
При обробленні
інші параметри були сталими і складали величини: БРМ – 1; ВК8; V=100 м/хв.; b=5,5 мм.
Далі нами було побудована робоча матриця (табл..2)
експерименту, яку ми використали для отримання математичної моделі:
Таблиця 3. Робоча матриця експерименту
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
S |
Алюміній |
Молібден |
Ванадій |
Цирконій |
Хром |
Олово |
Кремній |
Залізо |
Вуглець |
Кисень |
Азот |
Водень |
Титан |
|
0,075 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,075 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,075 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,075 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,075 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,11 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,11 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,11 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,11 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,11 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,15 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,15 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,15 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,15 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,15 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,21 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,21 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,21 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,21 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,21 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,3 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,3 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,3 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,3 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,3 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,39 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,39 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,39 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,39 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,39 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
|
0,47 |
4,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,015 |
93,735 |
|
0,47 |
5,4 |
0 |
0,6 |
0 |
0 |
2,5 |
0,02 |
0,2 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,003 |
91,1 |
|
0,47 |
4,7 |
3,4 |
1,2 |
0,25 |
0 |
0 |
0,08 |
0,19 |
0,04 |
0,11 |
0,02 |
0,004 |
90,006 |
|
0,47 |
6,9 |
1,75 |
1,5 |
2,1 |
0 |
0 |
0,04 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
0,01 |
0,015 |
87,3 |
|
0,47 |
5,2 |
5,1 |
4,9 |
0 |
1,1 |
0 |
0,13 |
0,2 |
0,02 |
0,07 |
0,01 |
0,015 |
82,25 |
Далі після перетворень ми отримали математичні моделі
впливу величини подачі та хімічного складу на складові сили різання.
Модель для складової сили різання Рх:
Модель
Y = 147.143+134.349x1-32.8918z2x14-19.6378x1z4
де:
x1 = 4.4164*(X1 -0.243571);
z1 = 2.49144*((x1^2)-0.230724*x1-0.367901);
u1 =
5.3022*((x1^3)-0.372337*(x1^2)-0.549624*x1+0.0520992);
x2 = 0.662252*(X2 -5.39);
z2 = 3.51224*((x2^2)-0.588506*x2-0.280865);
u2 =
35.9256*((x2^3)-0.51679*(x2^2)-0.462157*x2-0.0201426);
x4 = 0.306748*(X4 -1.64);
z4 = 3.51377*((x4^2)-0.609261*x4-0.274982);
u4 =
24.7749*((x4^3)-0.425581*(x4^2)-0.522391*x4-0.0505089);
x14 = 0.150871*(X14 -88.8782);
z14 =
2.30503*((x14^2)+0.332857*x14-0.346985);
u14 =
5.80503*((x14^3)+0.294489*(x14^2)-0.654148*x14+0.013313);
Отже результатом нашої роботи стала модель залежності складової сили
різання Рx від величини подачі та
відсоткового співвідношення вмісту інших хімічних елементів.
З моделі бачимо, що значимий вплив
мають наступні величини :
х1 - S подача, мм/об;
z2 – вміст Алюмінію в титановому сплаві, %;
х14 - вміст власне
Титану в титановому сплаві, %;
z4 - вміст Ванадію в титановому сплаві, %;
Тут Хі – вихідні фактори в натуральних значеннях, а
хі і zі – поліноми Чебишева першої і другої степені відповідно.
В табл.. 4 приведені
характеристики інформативності моделі.
Таблиця 4. Аналіз
інформативності моделі
|
Характеристика |
Позначення |
Значення |
|
Множинний
коефіцієнт кореляції |
R |
0,9905 |
|
Скорегований
множинний коефіцієнт кореляції |
Rкор |
0,9896 |
|
Розрахункове
значення критерію Фішера для R |
FR |
521 |
|
Критичне
значення для критерію Фішера |
|
2,911 |
|
Рівень
значущості |
a |
0.05 |
|
Степені
свободи |
n1 |
3 |
|
n2 |
31 |
|
|
Частка
розсіювання, пояснювана моделлю |
R2 |
0 ,9805 |
|
Критерій
Бокса і Веца |
g |
11 |
|
Гіпотеза
про значущість коефіцієнта множинної кореляції |
– |
приймається |
|
Інформативність
моделі |
– |
Дуже
висока |
Найбільш частою оцінкою інформативності слугує величина
множинного коефіцієнта кореляції R
(коефіцієнт кореляції між експериментальним значенням відгуку та значенням
відгуку, розрахованим по моделі). Чим ближче він до 1, тим інформативність
моделі вища. Але це тільки необхідна,
але не достатня умова . Необхідно перевірити значущість коефіцієнта кореляції
за критерієм Фішера: оскільки FR>
(521>2,91), то робимо висновок, що з
заданим рівнем значущості α=0,05 модель інформативна.
Якісною оцінкою значущості є критерій Бокса і Веца:
показник повинен γ повинен бути більшим 2..3 і задовольняти умові:
FR>
(1+γ2)
521>(1+112)·2,911=355,11
Таблиця 5. Аналіз
адекватності моделі
|
Характеристика |
Позначення |
Значення |
|
Дисперсія
відтворюваності |
|
7,1185 |
|
Степені
свободи |
n1 |
3 |
|
n2 |
31 |
|
|
Дисперсія
залишкова |
|
127,746 |
|
Розрахункове
значення критерію Фішера |
Fад |
56,41 |
|
Критичне
значення для критерію Фішера |
|
2,911 |
|
Рівень
значущості |
a |
0,05 |
|
Гіпотеза
про адекватність |
– |
Адекватна |
В математичному моделюванні під адекватністю розуміється
відповідність моделі об’єкту, який вона описує, по сукупності певних умов. В
регресійному аналізі у вузькому значенні перевірка адекватності зводиться до
перевірки за критерієм Фішера належності дисперсії відтворюваності та
залишкової дисперсії до однієї генеральної сукупності. При позитивній відповіді
(Fад>
), Оскільки в нашому випадку дана умова
виконується при заданому рівні значущості α=0,05, то модель адекватна
Таблиця 6. Таблиця
статистичних характеристик
|
Назва/Номер коефіцієнту |
Коефіцієнт
регресії |
Стандартна
похибка коеф. регресії |
Обчислене
значення t |
Частка
впливу |
|
х1 |
134,349 |
2,09 |
38,91 |
0,94 |
|
z2x14 |
-32,8918 |
0,23 |
-6,01 |
0,02 |
|
x1z4 |
-19,6378 |
209 |
-3,85 |
0,01 |
Аналіз стійкості
Таблиця 7. Аналіз
мультиколінеарності.
|
Номер регресора |
Max коеф. кореляції |
З яким регресором |
Коеф. кореляції з відгуком |
|
х1 |
0 |
Зі всіма |
0,9739 |
|
z2x14 |
0 |
Зі всіма |
0,1627 |
|
x1z4 |
0 |
Зі всіма |
0,0965 |
Число обумовленості COND = 1
В регресійному аналізі стійкість має 2
значення:
1. Стійкість структури рівняння регресії;
2. Стійкість оцінок коефіцієнтів регресії;
При аналізі стійкості розглядають таблицю мультиколінеарності . Таблиця дає можливість проаналізувати
модель на стійкість:
-
Максимальний коефіцієнт парної кореляції регресора не
повинен перевищувати за абсолютним значенням 0,3..0,4;
Отже ми можемо сказати, що витримана стійкість структури рівняння регресії.
Стійкість оцінкою коефіцієнтів регресії визначається за числом
обумовленості COND. Ідеальне значення COND наближається до 1.
Покажемо графічну залежність вмісту
Алюмінію в сплаві на складову силу різання Рх. З графіка бачимо, що
маємо нелінійну залежність.
Рис.1 Графік частинної регресії (Рх від складу алюмінію і подачі)
Отже в результаті ми отримали математичну модель
залежності складової сили різання Рх від величини подачі та
хімічного складу оброблюваного матеріалу. Це дає можливість без
експериментальних даних визначити режими різання та період стійкості
інструменту.