Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.м. Вильданова Ф.Х., Куркебаева Р.О

Семей государственный университет им. Шакарима, Казахстан

Об асимптотической эквивалентности линейных систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейные дифференциальные векторные уравнения

(1)

(2)

где определенные на промежутке локально суммируемые, почти всюду ограниченные действительные функции.

При решении вопроса об асимптотической эквивалентности [1] двух данных линейных дифференциальных уравнений особую роль играет матрица С, связывающая начальные значения базисного решения одного из них с начальными значениями соответствующего базисного решения другого. Конструктивных методов построения требуемой постоянной матрицы С не существует, поэтому представляет интерес исследования частных приемов поиска матрицы С. Иногда значение С можно получить как предельное значение некоторой матричной функции С(t), определяемой из минимаксного соотношения на конечном промежутке изменения аргумента t.

Пусть базисные решения уравнений (1), (2).

Положим

где С постоянная матрица, .

Для любого числа и любой постоянной матрицы определим величину

(3)

При фиксированных P и Q величина Ф(P,Q,t) в соответствии с определением представляет собой функцию t со значениями из : .

Можно показать, однако, что эта функция принимает лишь конечные значения, более того, значение Ф при фиксированном t реализуется на некоторых и .

Справедлива следующая теорема

Определение и свойства функции .

Лемма. При каждом из соотношения

(4)

определяется наименьшее .

Доказательство. Множество значений определяемых из (4) не пусто. Так как функция

непрерывная на принимает по крайней мере один раз любое значение между и ( по теореме о промежуточных значениях).

Множество значений функций ограничено, в силу того, что содержится в . Поэтому среди них можно найти наименьшее , которое обозначим . Лемма доказана.

Укажем некоторые свойства функции .

1. При функция возрастающая.

2. Возрастающая функция может иметь не более чем счетное множество точек разрыва.

Свойства функции .

Матричная функция из (4) определяется неоднозначно.

Фиксируем некоторое. Как было утверждено выше

,

поэтому существует матрицы такие, что

Обозначим через Г(P,Q,t)={C(t)} множество всех таких матриц.

Вместе с Г(P,Q,t) можно рассматривать множество

Г

Множество Г(P,Q) расположено в пространстве , его сечение в момент t совпадает с Г(P,Q,t).

Для многозначной матричной функции Г(P,Q,t) определяем нижний внутренний предел при

(8)

и верхний внешний предел

(9)

Теорема.1. Если функция ограничена для , то системы (1) и (2) асимптотически эквивалентны.

Теорема.2. Если и неограничена при , то уравнения (1) и (2) не является асимптотически эквивалентными.

Отметим, что заключение об асимптотической эквивалентности уравнении (1) и (2) во всех случаях, когда , неверно, например, уравнение

не являются асимптотически эквивалентными.

Матрицы , минимизирующие выражение при фиксированном имеют вид

где k- произвольное постоянное. Откуда получаем, что .

Литература:

1. Ю.С.Богданов,Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах. Дифф. уравнения, 1965, т. I, №6, с. 707-715.