Математика / 4. Прикладная математика

Найко Д. А.¹, Найко Т.І.²

¹Вінницький національний аграрний університет

²Вінницький національний технічний університет

Наближення проміжної похідної комбінаціями операторів класу В (одновимірний випадок)

Нехай – множина дійсних функцій , визначених та неперервних на і які зростають не швидше за експоненціальні функції, тобто множина функцій таких, що множина натуральних чисел, .

На множині функцій розглянемо лінійний додатний оператор , який визначено таким чином [Ошибка! Источник ссылки не найден.].

Означення. Послідовність лінійних додатних операторів вигляду

(1)

деяка область в , належить класу В, якщо виконуються умови: в області функції диференційовні; існує симетрична додатно визначена матриця

така, що

де функції аналітичні в області , до того ж

(Матриця називається інформаційною матрицею і має імовірнісну інтерпретацію. Ми використовуємо позначення Матриця називається коваріацією).

В даній роботі розглядається випадок , тобто оператор (1) – одновимірний.

Прикладами відомих л. д. о., що належать класу В, є

многочлени Бернштейна

, для яких

оператори Баскакова

оператори Мірак’яна-Саса

оператори Вейєрштрасса

оператори Мюллера-Феллера

та інші.

Багато нових прикладів л. д. о., що належать класу В, наводиться в [2] та [3]. Новим, наприклад, є оператор:

який названо оператором блукань.

Розглядатимемо також оператори [1]

які збігаються з похідними функції , коли не залежить від і називаються продиференційованими.

Використовуюємо такі позначення:

Доведено [4], що коли і існує в точці , то для оператора має місце таке асимптотичне подання

(2)

де (3)

(, тобто тотожний оператор; функції визначаються рівністю

причому коли ціла частина

числа .) Якщо ж , а неперервна на , то (2) виконується рівномірно по .

Використовуючи результати роботи [5], можна довести, що асимптотичну рівність (2) можна диференціювати при достатній гладкості функції (див. [6]).

Розглянемо такі комбінації операторів класу В.

Нехай де визначається рівністю (3), тотожний оператор. Введемо лінійний оператор

(4)

Розглянемо лінійний оператор

(5)

де , , … ,

, ,

ітеративні лінійні додатні оператори.

Розглянемо лінійний оператор

(6)

де оператор класу В,

різні фіксовані довільні числа Для зручності ми покладаємо тоді при

Лінійна комбінація операторів класу В вигляду (6) називається

комбінацією бутцерівського типу.

Через позначимо будь-який з операторів (4), (5) або (6). Тоді справедлива така теорема.

Теорема. Нехай , а

Тоді існують константи і такі, що

де модуль неперервності першого порядку функції на

Література

1. Волков Ю. И. Многомерные аппроксимационные операторы, порожденные мерами Лебега–Стилтьеса // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1983. – 47, № 3. – С. 435–454.

2. Волков Ю. И. Новые примеры аппроксимационных линейных положительных операторов // Методы теории приближения и их приложения. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. – С. 10–19.

3. Волков Ю. І. Додатні оператори. Наближення. Ймовірність. – К.: НМК ВО, 1992. – 200 с.

4. Волков Ю. И. О некоторых линейных положительных операторах // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 5. – С. 659–669.

5. Найко Д.А. О приближении производных некоторыми комбинациями операторов класса В // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, №5. – С. 583–587.

6. Найко Д. А. Обобщение одного асимптотического равенства // Экстремальные задачи теории приближений и их приложения. – Тезисы докладов респ. конф. 21–31 мая 1990г. – Киев: Ин–т матем. АН УССР. – С.96.