Теория вероятностей и математическая статис­тика

Диденко А.В.

Студент 6 курса факультета математики Одесского Национального Университета им. И.И. Мечникова

Фильтр Калмана-Бьюси

Поведение во времени некоторой динамической системы может быть вычислено, если задана математическая модель этой системы, и кроме того, известны входные воздействия и начальные условия.

 Цель построения динамической модели состоит обычно в получении количественных выводов о поведении рассматриваемой системы, либо для описания процесса, оканчивающегося в настоящее время, либо для предсказания будущих событий и экспериментов.

 Знание внутреннего состояния системы имеет при этом фундаментальное значение как при определении изменения во времени заданной динамической системы, так и при построении управляющей функции, которая должна осуществлять целенаправленное влияние на поведение системы. Однако зачастую внутреннее состояние системы недоступно измерению по техническим причинам. В этих случаях оно должно быть вычислено на основании результатов измерений выхода системы. Ввиду ошибок измерений это вычисление приводит, вообще говоря, не к точному, а лишь приближенному значению - к так называемой оценке внутреннего состояния системы.

 Изначально, данная задача решалась с помощью более простых методов, например метода наименьших квадратов, которые не учитывали случайные ошибки. Если же относительно ошибки измерения известны некоторые подробности, например, ее матожидание и дисперсия, то методами теории вероятностей можно получить лучшее, или оптимальное значение оценки. В этом случае ошибки наблюдения измерительного устройства, а также неизвестные входные воздействия (возмущения) интерпретируются как векторные случайные процессы и говорят о задаче стохастической фильтрации. В данном направлении Калманом были развиты такие две основные идеи: 1)динамическая система рассматривается, как перемещение в пространстве состояний; 2) линейная фильтрация рассматривается как ортогональная проекция в гильбертовом пространстве. Метод Калмана-Бьюси учитывает как результаты измерений, представляющие собой полезный сигнал плюс случайная помеха, так и свойства исследуемой системы путем введения в уравнения фильтра уравнения динамики системы. Вычислительная ценность алгоритма фильтрации Калмана-Бьюси обусловлена его реккурентной формой, что позволило существенно снизить нагрузки на ЭВМ, поскольку поступающие вновь результаты измерений сразу же обрабатываются и не нуждаются в дальнейшем хранении. Кроме того, метод Калмана-Бьюси дает возможность: 1) получать наилучшие в смысле минимума дисперсии линейные оценки на основании известных статистических характеристик входных переменных и помех измерений; 2) обрабатывать измерения по мере их поступления, что позволяет, в принципе, использовать метод в реальном масштабе времени; 3) получать практически реализуемую структуру оптимального фильтра (в отличие, например, от фильтра Винера- Колмогорова), решать задачи синтеза многомерных динамических систем; 4) строить фильтры с конечной, растущей и бесконечной памятью для различных сигналов (стационарных или нестационарных, непрерывных или дискретных) при произвольном распределении датчиков измерений и времени их включения и работы; 5) сохранять структуру алгоритма при совместном решении задач оптимальной фильтрации и оптимального управления.

 Целью работы является изучение методов фильтрации Калмана-Бьюси случайных векторных процессов. Рассматривается ситуация, когда коэффициенты фильтра не зависят от времени.

Пусть  - пара случайных величин, из которых  - наблюдаема, а  наблюдению не подлежит. Возникает вопрос: как по значениям наблюдений над  "оценить"  ненаблюдаемую компоненту ?

 Пусть  - борелевская функция. Случайная величина  называется  оценкой  по , а величина  - среднеквадратической ошибкой этой оценки.

 Оценка  называется оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если

                         

где  берется по классу всех борелевских функций  

 Имеют место следующие утверждения:

  Теорема 1. Пусть  Тогда оптимальная оценка  существует, и в качестве нее может быть взята функция

                                      

  Теорема 2. Пусть  - гауссовский вектор с  Тогда оптимальная оценка  по  есть

                          

а ее ошибка

                       

 Пусть  - гауссовский вектор, где   

Справедлива следующая теорема:

  Теорема (о нормальной корреляции). Для гауссовского вектора  оптимальная оценка  вектора  по  и ее матрица ошибок

                           

задаются следующими формулами:

                                                                     

                                     

 где

  - векторы-столбцы средних значений

  - матрицы ковариаций, и предполагается, что существует матрица

 Пусть  - частично наблюдаемая последовательность случайных векторов, таких что

                                     

                                      

При этом последовательность  управляется рекуррентными соотношениями

                           

  Согласно теореме 1,  является оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой вектора  а

    есть матрица ошибок оценивания.

 Задача фильтрации состоит в отыскании этих величин для произвольных последовательностей  управляемых уравнениями (1). Предположим, что условное распределение  является гауссовским,

                                       

 с параметрами   Тогда справедлива следующая теорема:

  Теорема Калмана-Бьюси. Пусть  - частично наблюдаемая последовательность, удовлетворяющая (1) и (2). Тогда  подчиняются следующим реккурентным уравнениям:

Рассмотрим примеры на применение фильтра Калмана-Бьюси.

Пример 1. Рассматриваются две стационарные некоррелированные случайные последовательности  и  со средними значениями  и спектральными плотностями

                

где  

 Последовательность  рассматривается как полезный сигнал, для которого находится оптимальная линейная оценка  и среднеквадратическая ошибка . Последовательность  играет роль шума, и наблюдению подлежит последовательность  такая что  

Пример 2. Рассмотрена проблема определения отказа работы реактивных двигателей стабилизации системы управления космического аппарата. Данная проблема приводит к невыполнению целевой задачи и отказу типа "неотключение" двигателя, что является причиной больших потерь рабочего тела и раскрутки космического аппарата до недопустимых угловых скоростей. Построен алгоритм идентификации отказов двигателей стабилизации в дискретном времени с помощью фильтра Калмана-Бьюси, имеющий вид:

                          

                           

                                

                                       

где  - оценка вектора состояния,

 - переходная матрица для вектора состояния,

 - матрица измерений,

 - ковариационная матрица ошибок фильтрации,

 - ковариационная матрица ошибок прогноза,

 - матричный коэффициент усиления,

 - ковариационная матрица шумов измерения,

Работа алгоритма основана на анализе величины оцениваемого в фильтре Калмана-Бьюси возмущающего момента.

 Если математическое ожидание оценки возмущающего момента, вычисленного на некоторой временной базе, где управление равно нулю, превосходит допустимый порог, то принимается решение об отказе двигателей стабилизации.

Литература:

1. Ширяев А. Н.  Вероятность - М.: Наука, 1989. - 640 с.

2. Браммер Л. Фильтр Калмана-Бьюси / Л. Браммер, Г. Зифлинг. - М.: Наука, 1982. - 200 с.

3. Розанов Ю. А.  Стационарные случайные процессы - М.: Физматгиз, 1963. - 284 с.

4. Прохоров М. Б. Метод оптимальной фильтрации Калмана–Бьюси и его обобщения / М. Б. Прохоров, В. К. Саульев. - М.: ВИНИТИ, 1977. - С. 167–207. -- (Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ, т. 14)

5. Кузнецов Ю. А. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата / Ю. А. Кузнецов, Е. В. Уханов // Вестник НТУ ХПИ. - Харьков, 2004. - №19. -- С. 121-126.

6. Вейс И. Дискретная фильтрация Калмана-Бьюси при неизвестных ковариациях шумов // Вопросы ракетной техники. - 1971. -- № 1.

7. Киселев В. П. Фильтрация измерений при неполной информации об объекте и каналах измерений // Изв. AH СССР, Техн., кибернетика. - 1974. - №3. - С. 158-190.