Теория вероятностей и математическая статистика
Диденко А.В.
Студент 6 курса факультета математики Одесского Национального Университета им. И.И. Мечникова
Фильтр Калмана-Бьюси
Поведение
во времени некоторой динамической системы может быть вычислено, если задана
математическая модель этой системы, и кроме того, известны входные воздействия
и начальные условия.
Цель построения динамической модели состоит
обычно в получении количественных выводов о поведении рассматриваемой системы,
либо для описания процесса, оканчивающегося в настоящее время, либо для
предсказания будущих событий и экспериментов.
Знание внутреннего состояния системы имеет
при этом фундаментальное значение как при определении изменения во времени
заданной динамической системы, так и при построении управляющей функции,
которая должна осуществлять целенаправленное влияние на поведение системы.
Однако зачастую внутреннее состояние системы недоступно измерению по
техническим причинам. В этих случаях оно должно быть вычислено на основании результатов
измерений выхода системы. Ввиду ошибок измерений это вычисление приводит,
вообще говоря, не к точному, а лишь приближенному значению - к так называемой
оценке внутреннего состояния системы.
Изначально, данная задача решалась с помощью
более простых методов, например метода наименьших квадратов, которые не
учитывали случайные ошибки. Если же относительно ошибки измерения известны
некоторые подробности, например, ее матожидание и дисперсия, то методами теории
вероятностей можно получить лучшее, или оптимальное значение оценки. В этом
случае ошибки наблюдения измерительного устройства, а также неизвестные входные
воздействия (возмущения) интерпретируются как векторные случайные процессы и
говорят о задаче стохастической фильтрации. В данном направлении Калманом были
развиты такие две основные идеи: 1)динамическая система рассматривается, как
перемещение в пространстве состояний; 2) линейная фильтрация рассматривается
как ортогональная проекция в гильбертовом пространстве. Метод Калмана-Бьюси
учитывает как результаты измерений, представляющие собой полезный сигнал плюс
случайная помеха, так и свойства исследуемой системы путем введения в уравнения
фильтра уравнения динамики системы. Вычислительная ценность алгоритма
фильтрации Калмана-Бьюси обусловлена его реккурентной формой, что позволило
существенно снизить нагрузки на ЭВМ, поскольку поступающие вновь результаты
измерений сразу же обрабатываются и не нуждаются в дальнейшем хранении. Кроме
того, метод Калмана-Бьюси дает возможность: 1) получать наилучшие в смысле
минимума дисперсии линейные оценки на основании известных статистических
характеристик входных переменных и помех измерений; 2) обрабатывать измерения
по мере их поступления, что позволяет, в принципе, использовать метод в
реальном масштабе времени; 3) получать практически реализуемую структуру
оптимального фильтра (в отличие, например, от фильтра Винера- Колмогорова),
решать задачи синтеза многомерных динамических систем; 4) строить фильтры с
конечной, растущей и бесконечной памятью для различных сигналов (стационарных
или нестационарных, непрерывных или дискретных) при произвольном распределении
датчиков измерений и времени их включения и работы; 5) сохранять структуру
алгоритма при совместном решении задач оптимальной фильтрации и оптимального управления.
Целью работы является изучение методов
фильтрации Калмана-Бьюси случайных векторных процессов. Рассматривается
ситуация, когда коэффициенты фильтра не зависят от времени.
Пусть
- пара случайных
величин, из которых
- наблюдаема, а
наблюдению не
подлежит. Возникает вопрос: как по значениям наблюдений над
"оценить"
ненаблюдаемую компоненту
?
Пусть - борелевская
функция. Случайная величина
называется оценкой
по
, а величина
-
среднеквадратической ошибкой этой оценки.
Оценка называется
оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если
где
берется по классу
всех борелевских функций
Имеют место следующие утверждения:
Теорема 1. Пусть Тогда оптимальная
оценка
существует, и в
качестве нее может быть взята функция
Теорема 2. Пусть - гауссовский вектор
с
Тогда оптимальная
оценка
по
есть
а
ее ошибка
Пусть - гауссовский вектор,
где
Справедлива
следующая теорема:
Теорема (о нормальной корреляции). Для гауссовского вектора оптимальная оценка
вектора
по
и ее матрица ошибок
задаются
следующими формулами:
где
- векторы-столбцы
средних значений
- матрицы ковариаций,
и предполагается, что существует матрица
Пусть - частично
наблюдаемая последовательность случайных векторов, таких что
При
этом последовательность управляется
рекуррентными соотношениями
Согласно теореме 1, является оптимальной
в среднеквадратическом смысле оценкой вектора
а
есть матрица
ошибок оценивания.
Задача фильтрации состоит в отыскании этих
величин для произвольных последовательностей управляемых
уравнениями (1). Предположим, что условное распределение
является гауссовским,
с параметрами
Тогда справедлива
следующая теорема:
Теорема Калмана-Бьюси. Пусть - частично
наблюдаемая последовательность, удовлетворяющая (1) и (2). Тогда
подчиняются следующим
реккурентным уравнениям:
Рассмотрим
примеры на применение фильтра Калмана-Бьюси.
Пример 1. Рассматриваются две стационарные некоррелированные
случайные последовательности и
со средними
значениями
и спектральными
плотностями
где
Последовательность рассматривается как
полезный сигнал, для которого находится оптимальная линейная оценка
и
среднеквадратическая ошибка
. Последовательность
играет роль шума, и
наблюдению подлежит последовательность
такая что
Пример 2. Рассмотрена проблема определения отказа работы
реактивных двигателей стабилизации системы управления космического аппарата.
Данная проблема приводит к невыполнению целевой задачи и отказу типа
"неотключение" двигателя, что является причиной больших потерь
рабочего тела и раскрутки космического аппарата до недопустимых угловых
скоростей. Построен алгоритм идентификации отказов двигателей стабилизации в
дискретном времени с помощью фильтра Калмана-Бьюси, имеющий вид:
где
- оценка вектора
состояния,
- переходная матрица
для вектора состояния,
- матрица измерений,
- ковариационная
матрица ошибок фильтрации,
- ковариационная
матрица ошибок прогноза,
- матричный
коэффициент усиления,
- ковариационная матрица
шумов измерения,
Работа
алгоритма основана на анализе величины оцениваемого в фильтре Калмана-Бьюси
возмущающего момента.
Если математическое ожидание оценки
возмущающего момента, вычисленного на некоторой временной базе, где управление
равно нулю, превосходит допустимый порог, то принимается решение об отказе
двигателей стабилизации.
Литература:
1. Ширяев А. Н.
Вероятность - М.: Наука, 1989. - 640 с.
2. Браммер Л. Фильтр Калмана-Бьюси / Л. Браммер, Г.
Зифлинг. - М.: Наука, 1982. - 200 с.
3. Розанов Ю. А.
Стационарные случайные процессы - М.: Физматгиз, 1963. - 284 с.
4. Прохоров М. Б. Метод оптимальной фильтрации
Калмана–Бьюси и его обобщения / М. Б. Прохоров, В. К. Саульев. - М.: ВИНИТИ,
1977. - С. 167–207. -- (Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ, т.
14)
5. Кузнецов Ю. А. Применение фильтра Калмана в задаче
идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата / Ю. А.
Кузнецов, Е. В. Уханов // Вестник НТУ ХПИ. - Харьков, 2004. - №19. -- С.
121-126.
6. Вейс И. Дискретная фильтрация Калмана-Бьюси при
неизвестных ковариациях шумов // Вопросы ракетной техники. - 1971. -- № 1.
7. Киселев В. П. Фильтрация измерений при неполной
информации об объекте и каналах измерений // Изв. AH СССР, Техн., кибернетика.
- 1974. - №3. - С. 158-190.