Карачун В.В., Мельник В.Н.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ПЛАСТИНЫ В АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Решение поставленной задачи проиллюстрируем на широко используемой в акустике механической модели взаимодействия звука с плоской преградой (рис. 1). Предположим, что изотропная упругая пластина постоянной жесткости и неограниченной протяженности разделяет два акустических полупространства с одинаковыми характеристиками, например, воздух.

Пусть, в какой-то момент времени, на лицевую поверхность пластины под углом падает плоская монохроматическая волна звукового давления

, (1)

где – волновое число; – круговая частота колебаний; – скорость звука в воздухе; – амплитуда давления в звуковой волне.

Слагаемое при координате введено для удобства дальнейших вычислений. На искомые амплитудные значения давления оно влияния не оказывает.

Для отраженной и прошедшей волн имеем аналогично:

(2)

Движение пластины происходит только в плоскости и не зависит от координаты , т. к. вдоль нее давление на поверхность постоянно. Таким образом, имеет место плоская деформация пластины.

Для этого случая математическая модель изгибного движения в форме Lame может быть представлена уравнениями –

(3)

где ; и – смещения в направлении осей и ; – плотность материала пластины (масса в единице объема); и – упругие постоянные Lame, которые выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона следующим образом

; . (4)

Звуковые давления на лицевой и теневой сторонах пластины имеют вид:

;

.

Представим величины этих давлений суммой симметричной и антисимметричной составляющих –

;

и установим степень влияния каждой из них на характер изгибных колебаний пластины.

При действии на пластину антисимметричной составляющей избыточного давления звуковой частоты, граничные условия принимают вид:

; ; ; ,

а изгибное движение описывается соотношением –

(5)

При выполнении ограничений и , подразумевающих сохранение только двух первых членов разложения в ряд тангенсов, движение пластины при симметричном и антисимметричном нагружении имеют вид:

(6)

. (7)

где – скорость продольных волн в пластине. Формула (6) совпадает с законом изгибных колебаний пластины при симметричном давлении, установленным Л. И. Лямшевым.

Если , тогда весь первый член в знаменателе становится малым, по сравнению с единицей, и формула (7) приобретает вид:

, (8)

что является известным законом изгибных колебаний тонкой пластины. Здесь – цилиндрическая жесткость пластины на изгиб; – масса единицы площади пластины. Следовательно, колебания пластины, на которую падает под углом плоская звуковая волна, могут быть описаны уравнениями движения тонких пластин, если длина следа падающей волны при или длина поперечной волны при и составляет менее 3,5…6 толщин слоя.

Для учета внутреннего трения в материале пластины вводится комплексный модуль Юнга, т.е. петля гистерезиса представляется эллипсом (здесь – действительная часть модуля упругости; – коэффициент потерь). Под внутренним трением будем подразумевать совокупность различных физических процессов в материале, приводящих при деформации к необратимому рассеянию механической энергии.

С учетом сказанного, величина механического импеданса (отношение давления к скорости смещения поверхности пластины) для симметричной и антисимметричной составляющих звукового давления будет определяться соотношениями:

; , (9)

где

;

; (10)

; .

Сравнение динамических и статических модулей упругости, например, стали, показало, что динамическая жесткость ее не отличается от статической. Это не относится к мягким материалам, где следует учитывать изменение динамических параметров.