Економічні науки/ 8. Математичні методи в економіці

Лєсбєкова В.С. , Манюк Н.А.

Науковий керівник: Настасій О.Б.

Буковинська державна фінансова академія

ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ МІЖНАРОДНОЇ ТОРГІВЛІ

  Макроекономіка функціонування багатогалузевого господарства вимагає балансу між окремими галузями. Кожна галузь, з одного боку, є виробником, а з іншого – споживачем продукції, що випускається іншими галузями. Виникає досить непроста задача розрахунку зв’язку між галузями через випуск і споживання продукції різного виду. Вперше ця проблема була сформульована у вигляді математичної моделі в працях відомого американського економіста, росіянина за походженням, лауреата Нобелівської премії 1973 р., В.Леонт’єва в 1936 р. [3], який спробував проаналізувати причини економічної депресії США 1929-1932 рр. Він використав модель загальної ринкової рівноваги швейцарського економіста Леона Вальраса, а також приватний випадок виробничої функції. Ця модель основана на алгебрі матриць і використовує апарат матричного аналізу. В свій час дана модель здійснила справжній переворот, як в економічній, так і в математичній сфері, оскільки змогла дати чітке обґрунтування кризи в країні за допомогою математичного аналізу. На основі моделі В. Леонтьєва розроблено міжгалузеві баланси, що використовуються для аналізу національної економіки. Встановивши міжгалузеві пропорції, що використовуються на всіх товарних ринках, В. Леонтьєв здійснив їх перевірку на основі статистичних даних США. Використаний ним метод отримав назву в економічній літературі «витрати - випуск», де він звертає свою увагу на якісні зв’язки в економіці.

Мета балансового аналізу: встановити яким має бути обсяг виробництва кожної з галузей, щоб задовольнити всі потреби в продукції цієї галузі. При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник даної продукції, а з іншого – як споживач і своєї, і виробленої іншими галузями продукції [1].

Нехай є n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Введемо позначення: − загальний обсяг продукції, що виготовляє і-та галузь (і=1,2,…,n) ; − обсяг продукції і-тої галузі, яку споживає j-та галузь (і, j = 1,2,…,n); − обсяг кінцевого попиту і-тої галузі.

Валовий обсяг і-тої галузі дорівнює галузі сумарному обсягу продукції, яку споживають n галузей, і кінцевій продукції, тобто . Останнє рівняння називаються співвідношеннями балансу. Це співвідношення можна записати у вигляді

(1)

де − коефіцієнти прямих витрат, які показують витрати продукції і-тої галузі на виготовлення одиниці продукції j-тої галузі.

Співвідношення балансу (1) можна записати у матричному вигляді

X=AX+Y, (2)

де

.

Тут Х – матриця-стовпець валового випуску всіх видів продукції, А – матриця прямих витрат; Y – матриця-стовпець кінцевого попиту.

Основна задача міжгалузевого балансу складається в знаходженні такої матриці Х валової продукції, яка при відомій матриці А прямих витрат забезпечить задану матрицю Y кінцевої продукції.

Рівняння (2) можна переписати у вигляді

(Е-А)Х=Y (3)

Якщо матриця Е-А − невироджена, то маємо розв’язок системи (3)

. (4)

Матриця називається матрицею повних витрат.

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці. Наведемо два з них.

Перший критерій продуктивності. Матриця A продуктивна тоді і тільки тоді, коли матриця  існує і її елементи невід’ємні.

Другий критерій продуктивності. Матриця А з невід’ємними елементами продуктивна, якщо сума елементів за довільним її стовпцем (рядком) не перевищує одиниці , причому хоча б для одного стовпця (рядка) ця сума строго менша одиниці.

Можливості практичного застосування лінійних динамічних моделей в економіці досить широкі. Підтвердженням цього може служити регулярна розробка звітних динамічних балансів, як у країнах із централізованою економікою, так і в країнах з розвиненою ринковою економікою. В Україні накопичений значний досвід у теоретичних дослідженнях і практичному застосуванні динамічних моделей для вирішення проблем розвитку національної економіки.

Хоча в теоретичному і практичному аспектах ідеологія моделей Леонтьєва є дуже продуктивною, вона потребує подальшого удосконалення. Це дуже актуально, оскільки Україна перебуває на стадії переходу до цивілізованих структур ринкової економіки, коли з особливою гостротою постають питання узгодження соціальних інтересів суспільства і структурної перебудови економіки з метою забезпечення цих інтересів.

Література

1. Грисенко М.В. Математика для економістів: Методи і моделі, приклади і задачі: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2007. – 720 с.

2. Рябченко О.Д., Єлагін Ю.В. Модель багатогалузевої економіки // Науково– технічний збірник. – 2001. - №34. – С. 14-24.