К. ф.-м. н. Долгарев А.И.

Пензенский государственный университет

Натуральные уравнения галилеевой кривой

и решение уравнения Ньютона

для движения с двумя степенями свободы

Механическое движение материальной точки с двумя степенями свободы происходит во времени по траектории:

= , ,

параметр есть время, принимающее действительные значения. Ускорение движения точки описывается функцией

= .

Функция задается не только в каждой точке траектории , но и в каждой точке некоторой области на евклидовой плоскости = , определяемой любой точкой траектории и базисными векторами плоскости. Возникает обратная задача: нахождение траектории движущейся точки в заданном векторном поле ускорения. Это задача И. Ньютона. Анализу ситуации в решении задачи И. Ньютона посвящена книга В.И. Арнольда [1]. Указанная задача относится к механике Галилея-Ньютона. В книге [1, c. 12 – 14] описано пространство-время Галилея как прямая сумма оси времени и 3-мерного евклидова пространства . Определено на основе аффинного пространства . Соответственно, 3-мерное пространство-время есть = , при этом есть . Естественно в решении задачи И. Ньютона о движении с двумя степенями свободы воспользоваться методами геометрии Галилея 3-мерного пространства-времени. Однако геометрия Галилея размерности 3 ко времени написания книги [1] не была разработана. Рассматривая методы решения задачи В.И. Арнольд приходит к следующему выводу: «Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки», [1, с. 26, аннотация к § 5].

Пусть точка плоскости Евклида рассматривается в момент времени . Это означает, что имеется событие 3-мерного пространства-времени Галилея . С течением времени событие изменяется, мировая линия события есть

= , . (1)

Кривые в пространстве-времени изучаются в [2, c. 46 – 101; 3]. Ниже предлагается решение в общем случае задачи И. Ньютона средствами геометрии Галилея.

1.Элементы геометрии Галилея

1.1. Пространство-время Галилея

Укажем необходимые понятия и факты геометрии Галилея 3-мерного пространства-времени из [2]. Пусть аффинное пространство, над – его линейное пространство. Галилеевым скалярным произведением векторов и называется число , определяемое равенствами

= (2)

Галилеевым скалярным квадратом вектора является

=

Галилеева норма вектора равна

= (3)

Б.А. Розенфельд относит нормы, определяемые двумя равенствами, к квазинормам, [3, с. 369]. В связи с этим, галилеева норма (3) вектора является квазинормой.

Линейное пространство с галилеевым скалярным произведением векторов (2) называется галилеевым векторным пространством и обозначается . Компонента всякого вектора из называется временной, компоненты вектора называются пространственными. Векторы , , называются галилеевыми, а векторы называются евклидовыми; норма вектора является евклидовой, см. (3). Скалярное произведение галилеева вектора , , и евклидова вектора , по (2), равно нулю. Поэтому всякий евклидов вектор перпендикулярен всякому галилееву вектору.

Обозначим: . Имеется разложение

.

Упорядоченное множество Б = является базисом пространства , базис Б ортонормирован. Вектор временной, пространственные.

Аффинное пространство , в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов, становится пространством-временем Галилея и обозначается . Точки аффинного пространства становятся точками пространства Галилея и называются еще событиями. Пространство событий есть мир. Прямые и плоскости аффинного пространствами становятся прямыми и плоскостями мира . Кривая = аффинного пространства, проходящая через точку , называется мировой линией точки . Репер В = пространства Галилея является ортонормированным. Координаты события в репере В – это координаты вектора в базисе Б. Вектор репера В является временным, остальные векторы репера В пространственные. Пространственное направление в пространстве-времени определяется евклидовым вектором . Время в пространстве Галилея 1-мерно. Направление во времени есть направление в будущее или направление в прошлое. Два различных галилеевых вектора , , , , задают в пространстве Галилея одно и то же временное направление, если их временные компоненты имеют один и тот же знак. Оба вектора определяют направление в будущее, если ; и определяют направление в прошлое, если . Выбор галилеева вектора определяет выбор временного направления в пространстве Галилея.

Вместе с событием рассматривается множество событий , одновременных с событием ; у всех этих событий совпадают временные компоненты. Множество событий, одновременных с , есть евклидова плоскость

пространства-времени Галилея. Выполняется

1. Свойство. Через всякую точку пространства Галилея проходит единственная евклидова плоскость.

Все евклидовы плоскости пространства Галилея параллельны.

Во всякой точке пространства-времени Галилея направление во времени определяется выбором открытого полупространства, границей которого является евклидова плоскость, проходящая через точку .

Все плоскости пространства-времени Галилея, отличные от евклидовых плоскостей, есть плоскости Галилея, это 2-мерные галилеевы пространства.

1.2. Кривые в пространстве Галилея

Кривая называется регулярной класса , если функция не менее трех раз дифференцируема, и векторы , неколлинеарны. Компоненты кривой (1) трижды дифференцируемы. Имеем:

, ;

, вектор евклидов. Согласно [2. c. 56 – 57], параметризация (1) галилеевой кривой является естественной. Касательная к кривой (1) в точке определяется вектором и не зависит от параметризации кривой. Кривизна кривой (1) равна норме вектора производной второго порядка

. (4)

Имеем функцию кривизны

.

Обозначим через единичный вектор направления , тогда

.

Производная единичного евклидова вектора равна

. (5)

Вектор

является единичным, , величина

= (6)

называется кручением галилеевой кривой (1). Вектор теперь записывается в виде = . По [2, c. 59 – 61], кручение кривой (1) есть каппа-функция евклидова вектора . Функция кривизны

кривой отыскивается по формуле (6).

1.3. Натуральные уравнения галилеевой кривой

По формулам (4) и (6) кривизны и кручения галилеевой кривой (1) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

. (7)

Считая функции кривизны и кручения

(8)

заданными, отыскиваем функции – компоненты задания галилеевой кривой (1) = . Кривая (1) однозначно определяется начальными условиями

, , (9)

выделяется линия, проходящая через точку в направлении вектора касательной . В [2] рассмотрен только случай, в котором и постоянны.

2.Теорема. Компоненты кривой (1) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7) при условии, что функции кривизны и кручения (8) кривой заданы. Начальные условия (9) определяют единственную кривую (1), проходящую через заданную точку в направлении вектора касательной .

# В первом уравнении системы (7) обозначим

. (10)

При дифференцировании функций для второго уравнения системы (7) понадобится производная

.

Проверка показывает, что функции из (10) удовлетворяют и второму уравнению системы (7). Поэтому функции являются решениями дифференциальных уравнений из (10). Кривизна и кручение всех найденных кривых = совпадают с заданными функциями (8). Начальные условия (9) выделяют из 4-параметрического семейства решений единственную кривую (1). #

Функции (8) называются натуральными уравнениями кривой.

3.Следствие. [2, c. 66 – 67]. Если кривизна и кручение кривой (1) постоянны, то кривая (1) является винтовой линией

g(t) = (11)

# Интегрируя уравнения (10) при , имеем

заменяя репер пространства Галилея , можно получить , . Проекция кривой (11) на евклидову плоскость есть

(t) =

Это евклидова окружность с центром в начале отсчета и радиусом ,

.

Образующая цилиндра, на которой лежит винтовая линия (11), параллельна временной оси . #

1.4. Примеры получения кривых по натуральным уравнениям

Пример 1. Заданы функции кривизны и кручения линии:

, .

Функция , согласно третьему равенству из (10), есть

.

Тогда по (10):

, .

В результате двукратного интегрирования имеем семейство кривых – мировых линий движения точек

= ,

начальные условия выделяют кривую

= ,

траектория движения материальной точки = есть цепная линия, [5, № 90].

Пример 2. Натуральные уравнения кривой есть

, .

По (10) находим,

.

Согласно (10) имеем дифференциальные уравнения:

, .

Первое интегрирование дает:

, .

В результате замены приходим к выражениям

, ;

тогда пространственные составляющие мировой линии:

Рассмотрим альтернативное решение. Используя разложение

,

можно принять

. (12)

При этом выполняются соотношения:

и ,

то есть функции (12) удовлетворяют второму уравнению системы (7). Интегрируя дважды выражения (12), получаем

, .

Эти значения проще, чем полученные ранее. При начальных условиях имеем галилееву кривую

= ,

с евклидовой проекцией:

= .

Получились две различные параметризации одной кривой – два разных закона движения точки по траектории. Различные колебания, суммируясь, дают одну и туже траекторию движения точки.

В последней функции выполним замену , тогда . Получаем пространственную кривую = . Заменим обозначение параметра на :

= .

Это коническая спираль, [5, № 420]. Если смысл параметра в задании мировой линии движения = есть время, то имеется движение точки с двумя степенями свободы с законом = .

Пример 3. Заданы натуральные уравнения галилеевой линии

, .

Возьмем разложение функции в сумму квадратов: = + . Функции , удовлетворяют и второму уравнению системы (7). Общие интегралы выбранных уравнений таковы:

.

Начальные условия в случае выделяют функции . Получена галилеева кривая:

= ,

ее евклидова проекция есть = или – полукубическая парабола.

2. Решение уравнения И. Ньютона в движении

с двумя степенями свободы

2.1. Поле ускорений и траектория движения

Пусть на евклидовой плоскости задано векторное поле

, ,

которое считаем полем ускорений движущееся материальной точки. Траектория движения точки описывается функцией

= .

В каждой точке траектории вектор ускорения есть

.

Величина ускорения равна

. (13)

Мировая линия движения материальной точки с учетом времени есть:

= = +,

где единичный вектор времени. Функция ускорения движения по траектории такова

= = .

Кривизна мировой линии движения есть , см. (4). Уравнение И. Ньютона для движения материальной точки по траектории имеет вид (в наших обозначениях):

,

см. [1, равенство (1)]. Траектория движения , скорость являются функциями времени. Сила , под воздействием которой движется материальная точка, есть функция времени

и уравнение И. Ньютона записывается в виде

= ,

где заданная сила, действующая на материальную точку как ускорение движения точки. И решением уравнения И. Ньютона является траектория движения точки , тоже функция времени.

2.2. Отыскание траектории движения

Для получения галилеевой линии в нужно знать функции кривизны и кручения линии, см. теорему 2. По полю ускорения движения определяется кривизна , (13). Компоненты вектора ускорения позволяют найти кручение мировой линии движения точки

= = , (14)

см. (6). Согласно теореме 2, мировая линия движения точки однозначно определяется с точностью до положения в пространстве Галилея, а следовательно, однозначно определяется траектория движения точки. Тем самым решается уравнение И. Ньютона для механического движения с двумя степенями свободы.

4.Теорема. Компоненты траектории движения точки однозначно определяются, если задано поле ускорений точки ; кривизна и ускорение мировой линии движения вычисляются по формулам (13) и (14), которые задают правые части обыкновенных дифференциальных уравнений системы (7). Уравнение И. Ньютона сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (7). Начальные условия (9) выделяют траекторию движения точки в направлении вектора .

# Мировая линия движения точки , согласно теореме 2, отыскивается по функциям кривизны и кручения (13) и (14), найденным по компонентам векторного поля ускорения . Компоненты траектории зависят от функций и , см. (10). Траектория движения проходит через заданную в (9) точку в направлении вектора касательной . #

Как показывают теоремы 2 и 4, компоненты и траектории точки отыскиваются все-таки по дифференциальным уравнениям

и .

Теорема 4 обосновывает такой способ отыскания траектории движения.

2.3. Примеры решения уравнения И. Ньютона

Пример 1. Задано поле ускорений

= , .

Находим по (13) и (14): , . В п. 1.4, пример 1, получена мировая линия движения = с найденными кривизной и кручением, траектория движения материальной точки = есть цепная линия.

В евклидовой геометрии, например, плоская кривая в естественной параметризации отыскивается по функции кривизны, [6, c. 137 – 143]. Кривизна линии есть модуль вектора производной второго порядка . Но естественный параметр евклидовой кривой не является временем и не является вектором ускорения движения точки по траектории . Методы галилеевой геометрии позволили решить уравнение И. Ньютона, т.к. естественным параметром галилеевой кривой является время.

Пример 2. Поле ускорения движения есть

.

По (13) и (14) имеем: , . В примере 2 п.1.4: = , траектория движения: = .

Пример 3. Поле ускорений:

.

Находим: , . В примере 3 из 1.4 найдена мировая линия движения = , траектория точки: = или – полукубическая парабола.

Литература:

1. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики./В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1989. – 472с.

2. Долгарев А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография./ А.И. Долгарев. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.

3. Долгарев, А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований./ А.И. Долгарев. – Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003, препринт 63. – 116с.

4. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003.- 560с.

5. Савелов А. А. Плоские кривые./ А.А. Савелов. – М.: Физматгиз, 1960. – 294с.

6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии./ П.К. Рашевский. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.