К. ф.-м. н. Долгарев А.И.
Пензенский
государственный университет
Натуральные
уравнения галилеевой кривой
и решение уравнения Ньютона
для движения с двумя степенями свободы
Механическое движение
материальной точки с двумя степенями свободы происходит во времени по
траектории:
=
,
,
параметр есть время,
принимающее действительные значения. Ускорение движения точки описывается
функцией
=
.
Функция задается не только в
каждой точке траектории
, но и в каждой точке некоторой области на евклидовой
плоскости
=
, определяемой любой точкой
траектории и
базисными векторами
плоскости. Возникает
обратная задача: нахождение траектории движущейся точки в заданном векторном
поле ускорения. Это задача И. Ньютона. Анализу ситуации в решении задачи И.
Ньютона посвящена книга В.И. Арнольда [1]. Указанная задача относится к механике
Галилея-Ньютона. В книге [1, c. 12 – 14] описано пространство-время Галилея
как прямая сумма оси
времени и 3-мерного евклидова пространства
. Определено
на основе аффинного
пространства
. Соответственно, 3-мерное пространство-время есть
=
, при этом
есть
. Естественно в решении
задачи И. Ньютона о движении с двумя степенями свободы воспользоваться методами
геометрии Галилея 3-мерного пространства-времени. Однако геометрия Галилея
размерности 3 ко времени написания книги [1] не была разработана. Рассматривая
методы решения задачи В.И. Арнольд приходит к следующему выводу: «Анализ общей
потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей
современной науки», [1, с. 26, аннотация к § 5].
Пусть
точка плоскости Евклида
рассматривается в момент времени
. Это означает, что имеется событие
3-мерного пространства-времени
Галилея
. С течением времени событие
изменяется, мировая
линия события
есть
=
,
. (1)
Кривые в пространстве-времени изучаются в [2, c. 46 – 101; 3]. Ниже предлагается решение в общем
случае задачи И. Ньютона средствами геометрии Галилея.
1.Элементы геометрии Галилея
1.1. Пространство-время Галилея
Укажем
необходимые понятия и факты геометрии Галилея 3-мерного пространства-времени из
[2]. Пусть аффинное пространство,
над
– его линейное пространство.
Галилеевым скалярным произведением векторов
и
называется число
, определяемое равенствами
=
(2)
Галилеевым скалярным квадратом вектора является
=
Галилеева норма
вектора равна
=
(3)
Б.А. Розенфельд относит нормы,
определяемые двумя равенствами, к квазинормам, [3, с. 369]. В связи с этим,
галилеева норма (3) вектора является квазинормой.
Линейное
пространство с галилеевым
скалярным произведением векторов (2) называется галилеевым векторным
пространством и обозначается
. Компонента
всякого вектора
из
называется временной,
компоненты
вектора
называются
пространственными. Векторы
,
, называются галилеевыми, а векторы
называются
евклидовыми; норма вектора
является евклидовой,
см. (3). Скалярное произведение галилеева вектора
,
, и евклидова вектора
, по (2), равно нулю. Поэтому всякий евклидов вектор
перпендикулярен всякому галилееву
вектору.
Обозначим:
. Имеется разложение
.
Упорядоченное множество Б = является базисом пространства
, базис Б ортонормирован.
Вектор
временной,
пространственные.
Аффинное
пространство , в линейном пространстве
которого определено
галилеево скалярное произведение векторов, становится пространством-временем
Галилея и обозначается
. Точки аффинного пространства становятся точками пространства
Галилея и называются еще событиями. Пространство событий
есть мир. Прямые и
плоскости аффинного пространствами становятся прямыми и плоскостями мира
. Кривая
=
аффинного пространства,
проходящая через точку
, называется мировой линией точки
. Репер В =
пространства Галилея
является ортонормированным. Координаты события
в репере В – это координаты вектора
в базисе Б. Вектор
репера В является временным, остальные векторы
репера В пространственные. Пространственное
направление в пространстве-времени
определяется евклидовым
вектором
. Время в пространстве Галилея 1-мерно. Направление во
времени есть направление в будущее или направление в прошлое. Два различных галилеевых
вектора
,
,
,
, задают в пространстве Галилея одно и то же временное
направление, если их временные компоненты имеют один и тот же знак. Оба вектора
определяют направление в будущее, если
; и определяют направление в прошлое, если
. Выбор галилеева вектора
определяет выбор
временного направления в пространстве Галилея.
Вместе
с событием рассматривается
множество событий
, одновременных с событием
; у всех этих событий совпадают временные компоненты.
Множество событий, одновременных с
, есть евклидова плоскость
пространства-времени Галилея. Выполняется
1. Свойство.
Через всякую точку пространства Галилея
проходит единственная евклидова плоскость.
Все евклидовы плоскости
пространства Галилея параллельны.
Во всякой точке пространства-времени
Галилея направление во времени определяется выбором открытого полупространства,
границей которого является евклидова плоскость, проходящая через точку
.
Все плоскости пространства-времени
Галилея, отличные от евклидовых плоскостей, есть плоскости Галилея, это
2-мерные галилеевы пространства.
1.2. Кривые в пространстве Галилея
Кривая
называется регулярной
класса
, если функция
не менее трех раз
дифференцируема,
и векторы
,
неколлинеарны.
Компоненты
кривой (1) трижды дифференцируемы. Имеем:
,
;
, вектор
евклидов. Согласно [2.
c. 56 – 57], параметризация (1) галилеевой кривой
является естественной. Касательная
к кривой (1) в точке
определяется вектором
и не зависит от
параметризации кривой. Кривизна
кривой (1) равна норме
вектора производной второго порядка
. (4)
Имеем функцию кривизны
.
Обозначим через единичный вектор
направления
, тогда
.
Производная единичного
евклидова вектора равна
. (5)
Вектор
является единичным, , величина
=
(6)
называется кручением галилеевой кривой
(1). Вектор теперь записывается в
виде
=
. По [2, c. 59 – 61],
кручение
кривой (1) есть
каппа-функция евклидова вектора
. Функция кривизны
кривой отыскивается по формуле (6).
1.3. Натуральные уравнения галилеевой кривой
По
формулам (4) и (6) кривизны и кручения галилеевой кривой (1) получаем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
.
(7)
Считая функции
кривизны и кручения
(8)
заданными, отыскиваем функции – компоненты задания
галилеевой кривой (1)
=
. Кривая (1) однозначно определяется начальными условиями
,
, (9)
выделяется линия, проходящая через точку в направлении вектора
касательной
. В [2] рассмотрен только случай, в котором
и
постоянны.
2.Теорема. Компоненты кривой (1) являются решением системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (7) при условии, что функции кривизны и кручения (8) кривой заданы.
Начальные условия (9) определяют единственную кривую (1), проходящую через
заданную точку
в направлении вектора касательной
.
# В первом уравнении
системы (7) обозначим
. (10)
При дифференцировании функций для второго уравнения системы (7) понадобится
производная
.
Проверка показывает, что функции из (10) удовлетворяют
и второму уравнению системы (7). Поэтому функции
являются решениями
дифференциальных уравнений из (10). Кривизна и кручение всех найденных кривых
=
совпадают с заданными
функциями (8). Начальные условия (9) выделяют из 4-параметрического семейства
решений единственную кривую
(1). #
Функции
(8) называются натуральными уравнениями кривой.
3.Следствие.
[2, c. 66 – 67]. Если
кривизна и кручение кривой (1) постоянны,
то кривая (1) является винтовой линией
g(t) = (11)
#
Интегрируя уравнения (10) при , имеем
заменяя репер пространства Галилея , можно получить
,
. Проекция кривой (11) на евклидову плоскость есть
(t) =
Это евклидова окружность с центром в
начале отсчета и радиусом ,
.
Образующая цилиндра, на которой лежит
винтовая линия (11), параллельна временной оси . #
1.4. Примеры получения кривых по натуральным
уравнениям
Пример 1. Заданы функции кривизны и кручения
линии:
,
.
Функция , согласно третьему равенству из (10), есть
.
Тогда по (10):
,
.
В результате двукратного интегрирования
имеем семейство кривых – мировых линий движения точек
=
,
начальные условия выделяют кривую
=
,
траектория движения материальной точки =
есть цепная линия,
[5, № 90].
Пример 2.
Натуральные уравнения кривой есть
,
.
По (10) находим,
.
Согласно (10) имеем дифференциальные
уравнения:
,
.
Первое интегрирование дает:
,
.
В результате замены приходим к выражениям
,
;
тогда пространственные составляющие мировой
линии:
Рассмотрим
альтернативное решение. Используя разложение
,
можно принять
. (12)
При этом выполняются соотношения:
и
,
то есть функции (12) удовлетворяют второму уравнению системы (7).
Интегрируя дважды выражения (12), получаем
,
.
Эти значения проще, чем полученные ранее.
При начальных условиях имеем галилееву
кривую
=
,
с евклидовой проекцией:
=
.
Получились две различные параметризации
одной кривой – два разных закона движения точки по траектории. Различные
колебания, суммируясь, дают одну и туже траекторию движения точки.
В
последней функции выполним замену , тогда
. Получаем пространственную кривую
=
. Заменим обозначение параметра
на
:
=
.
Это коническая спираль, [5, № 420]. Если
смысл параметра в задании мировой
линии движения
=
есть время, то
имеется движение точки с двумя степенями свободы с законом
=
.
Пример 3.
Заданы натуральные уравнения галилеевой линии
,
.
Возьмем разложение функции в сумму квадратов:
=
+
. Функции
,
удовлетворяют и
второму уравнению системы (7). Общие интегралы выбранных уравнений таковы:
.
Начальные условия в случае
выделяют функции
. Получена галилеева кривая:
=
,
ее евклидова проекция есть =
или
– полукубическая парабола.
2. Решение уравнения И. Ньютона в движении
с двумя степенями свободы
2.1. Поле ускорений и траектория движения
Пусть
на евклидовой плоскости задано векторное поле
,
,
которое считаем полем ускорений движущееся
материальной точки. Траектория движения точки описывается функцией
=
.
В каждой точке траектории вектор
ускорения есть
.
Величина ускорения равна
. (13)
Мировая линия движения материальной точки
с учетом времени есть:
=
=
+
,
где единичный вектор
времени. Функция ускорения движения по траектории
такова
=
=
.
Кривизна мировой линии движения есть , см. (4). Уравнение И. Ньютона для движения материальной
точки по траектории
имеет вид (в наших
обозначениях):
,
см. [1, равенство (1)]. Траектория
движения , скорость
являются функциями
времени. Сила
, под воздействием которой движется материальная точка, есть
функция времени
и уравнение И. Ньютона записывается в виде
=
,
где заданная сила,
действующая на материальную точку как ускорение движения точки. И решением
уравнения И. Ньютона является траектория движения точки
, тоже функция времени.
2.2. Отыскание траектории движения
Для
получения галилеевой линии в нужно знать функции
кривизны и кручения линии, см. теорему 2. По полю ускорения
движения определяется
кривизна
, (13). Компоненты
вектора ускорения
позволяют найти кручение
мировой линии движения точки
=
=
, (14)
см. (6). Согласно теореме 2, мировая линия
движения точки однозначно определяется с точностью до положения в пространстве
Галилея, а следовательно, однозначно определяется траектория движения точки.
Тем самым решается уравнение И. Ньютона для механического движения с двумя степенями
свободы.
4.Теорема. Компоненты траектории движения точки
однозначно определяются, если задано поле ускорений
точки
; кривизна и ускорение
мировой линии
движения вычисляются по формулам (13) и (14), которые задают правые
части обыкновенных дифференциальных уравнений системы (7). Уравнение И. Ньютона
сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (7).
Начальные условия (9) выделяют траекторию движения точки
в направлении вектора
.
# Мировая линия движения точки
, согласно теореме 2, отыскивается по функциям кривизны и
кручения (13) и (14), найденным по компонентам векторного поля ускорения
. Компоненты
траектории зависят от
функций
и
, см. (10).
Траектория движения
проходит через
заданную в (9) точку
в направлении вектора
касательной
. #
Как показывают теоремы
2 и 4, компоненты и
траектории
точки
отыскиваются все-таки
по дифференциальным уравнениям
и
.
Теорема 4 обосновывает такой способ
отыскания траектории движения.
2.3. Примеры решения уравнения И. Ньютона
Пример 1. Задано поле ускорений
=
,
.
Находим по (13) и (14): ,
. В п. 1.4, пример 1, получена мировая линия движения
=
с найденными кривизной
и кручением, траектория движения материальной точки
=
есть цепная линия.
В
евклидовой геометрии, например, плоская кривая в естественной параметризации
отыскивается по функции кривизны, [6, c. 137 –
143]. Кривизна линии есть модуль вектора производной второго порядка
. Но естественный параметр
евклидовой кривой не
является временем и
не является вектором
ускорения движения точки по траектории
. Методы галилеевой геометрии позволили решить уравнение И.
Ньютона, т.к. естественным параметром галилеевой кривой является время.
Пример 2. Поле ускорения движения есть
.
По (13) и (14) имеем: ,
. В примере 2 п.1.4:
=
, траектория движения:
=
.
Пример 3. Поле ускорений:
.
Находим: ,
. В примере 3 из 1.4 найдена мировая линия движения
=
, траектория точки:
=
или
– полукубическая парабола.
Литература:
1.
Арнольд, В.И.
Математические методы классической механики./В.И. Арнольд. – М.: Наука,
1989. – 472с.
2.
Долгарев А. И.
Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств.
Монография./ А.И. Долгарев. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.
3.
Долгарев, А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии
и одуль галилеевых преобразований./ А.И. Долгарев. – Саранск: Средневолжское
математическое общество, 2003, препринт 63. – 116с.
4.
Розенфельд Б.А.,
Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и
периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003.- 560с.
5.
Савелов А. А. Плоские кривые./ А.А. Савелов. – М.:
Физматгиз, 1960. – 294с.
6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии./ П.К. Рашевский. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.