Шилинец В.
А., Рылова А.С.
Белорусский
государственный педагогический университет
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОГЕННЫХ В СМЫСЛЕ
В.С. ФЕДОРОВА ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Предметом
исследования в данной работе является следующая система дифференциальных
уравнений в частных производных:
где (
(
) – искомые (известные) комплексные функции от
класса
(
),
.
Через
обозначаем класс
комплексных функций от
, имеющих непрерывные частные производные до
–го порядка включительно в некоторой односвязной области
плоскости
.
Как
показано в работе [1], данная система эквивалентна системе в формальных производных
(1)
( – известные функции класса
(
) при следующем необходимом и достаточном условии:
,
где формальные производные ,
определяются
следующим образом:
,
( в области
).
Для
системы дифференциальных уравнений в формальных производных (1) решается
следующая краевая задача.
Найти решение
системы (1) в окрестности точки , удовлетворяющее условиям:
,
,
где – произвольные
аналитические функции от
в рассматриваемой
области
,
– произвольная
фиксированная точка области
;
–
F-производная функции по функции
[2].
В дальнейшем будем предполагать, что все
искомые и известные функции являются аналитическими от функций и
в области
. Следовательно, они будут и аналитическими от дуальных
функций
,
, что, конечно, не требует обязательной аналитичности всех
указанных функций от переменных
. В алгебре дуальных чисел класс всех аналитических от
и
в области
функций обозначим
через
.
Далее
заметим, что можем, не уменьшая, по существу, общность исследования, допустить
разложение любой рассматриваемой нами функции класса
во всей области
в ряд вида
(
;
– произвольная точка односвязной области
плоскости
), причем предполагаем существование таких постоянных
,
, что
в области
;
,
а потому в области сходится абсолютно и
равномерно ряд
(ведь
).
Дуальную
функцию
будем называть
моногенной по дуальной функции
( в смысле
В.С. Федорова) [2] в области , если найдется такая дуальная функция переменных
, которую обозначим
, что имеем в указанной области:
,
.
Вводим
дифференциальный оператор
.
Из
определения оператора непосредственно
вытекает, что система (1) равносильна уравнению
,
(2)
где ;
;
;
.
Таким
образом, поставленная краевая задача редуцируется к аналогичной задаче для
уравнения (2).
Требуется
найти решение дифференциального уравнения в формальных производных (2),
удовлетворяющее условиям:
,
где – заданная дуальная
функция, моногенная в смысле В.С. Федорова по функции
в области
.
Используя
результаты работы [3], решение краевой
задачи для уравнения (2) приводится к решению интегрального уравнения
, (3)
где интеграл берется по
кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки и
в области
, и не зависит от пути интегрирования,
,
,
.
Уравнение
(3), как показано в работе [3], решается
методом последовательных приближений. Найдя решение интегрального уравнения (3)
и выделив в этом решении и
, мы найдем решение поставленной краевой задачи для системы
(1).
1.
Стельмашук Н.Т. О
некоторых линейных дифференциальных системах в частных производных // Сибирский
математический журнал, 1964.– Т. 5, № 1.– С. 166-173.
2.
Федоров В.С. Основные свойства
обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958.– № 6.– С.
257-265.
3.
Стельмашук Н.Т. Об одной
линейной системе в формальных производных // Anal. stiint. Univ. Iasi,
1962.–Т. 8, f. 2. – P. 331-342.