Галкин С.В., Запасный В.В.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет

имени Д. Серикбаева, Казахстан

КОНЦЕПЦИЯ ДВУХМЕРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ

В математике прогрессия – это название некоторых видов числовых последовательностей. Выделяют прогрессии арифметическую и геометрическую. Представим классическую трактовку математических прогрессий.

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным числом, называемым разностью арифметической прогрессии. Каждый член арифметической прогрессии рассчитывается по формуле

a_n=a₁+(n-1)*d , (1)

где a₁ - первый член арифметической прогрессии;

a_n - член арифметической прогрессии с порядковым номером n (общий член прогрессии);

n – порядковый номер члена прогрессии;

d - разность арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на некоторое постоянное и не равное нулю число, называемое знаминателем геометрической прогрессии. Каждый член геометрической прогрессии рассчитывается по формуле

b_n=b₁*q^n-1 , (2)

где b₁ - первый член геометрической прогрессии;

b_n - член геометрической прогрессии с порядковым номером n (общий член прогрессии);

n – порядковый номер члена прогрессии;

q - знаминатель геометрической прогрессии.

В данной работе предлагается концепция двухмерных математических прогрессий. Дадим определение двухмерным прогрессиям. При этом классически трактуемые математические прогрессии (арифметическая и геометрическая) будем называть одномерными прогрессиями.

Двухмерная арифметическая прогрессия - числовая последовательность, основой которой является первый член прогрессии, дающий развитие одномерной прогрессии с разностью d₁ (разность арифметической прогрессии в первом измерении), при этом, все члены этой одномерной прогрессии являются первыми членами других одномерных прогрессий с одинаковой разностью d₂ (разность арифметической прогрессии во втором измерении).

Определение двухмерной арифметической прогрессии можно дать и через математическое описание общего члена прогрессии.

Двухмерная арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой рассчитывается по формуле

a_nm=a_1,1 +(n-1)*d₁+(m-1)*d₂ , (3)

где n – порядковый номер члена прогрессии в первом измерении;

m - порядковый номер члена прогрессии во втором измерении;

a_1,1 – первый член двухмерной арифметической прогрессии;

d₁ - разность арифметической прогрессии в первом измерении;

d₂ - разность арифметической прогрессии во втором измерении;

a_nm - член двухмерной арифметической прогрессии с порядковыми номерами n в первом измерении и m – во втором (общий член прогрессии).

Двухмерная геометрическая прогрессия - числовая последовательность, основой которой является первый член прогрессии, дающий развитие одномерной прогрессии со знаменателем q₁ (знаменатель геометрической прогрессии в первом измерении), при этом, все члены этой одномерной прогрессии являются первыми членами других одномерных прогрессий с одинаковым знаменателем q₂ (знаменатель геометрической прогрессии во втором измерении).

Определение многомерной геометрической прогрессии можно дать и через математическое описание общего члена прогрессии.

Двухмерная геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий рассчитывается по формуле

b_nm=b_1,1*q₁^n-1 *q₂^m-1, (4)

где b_1,1 – первый член двухмерной геометрической прогрессии;

n – порядковый номер члена прогрессии в первом измерении;

m - порядковый номер члена прогрессии во втором измерении;

q₁ - знаменатель геометрической прогрессии в первом измерении;

q₂ - знаменатель геометрической прогрессии во втором измерении;

b_nm - член двухмерной геометрической прогрессии с порядковыми номерами n в первом измерении и m – во втором (общий член прогрессии).

Классические прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются частным случаем двухмерных прогрессий, которые развиваются только в одном измерении. Поэтому и было предложено назвать данные прогрессии одномерными. Прогрессии, которые развиваются в двух измерениях, будем называть двухмерными. Каждая двухмерная прогрессия представляет собой упорядоченную совокупность одномерных прогрессий. Для упрощения изложения дальнейшего материала, при указании в тексте слова «прогрессия», без её уточнения, будем подразумевать под этим словом всё многообразие математических прогрессий.

Для удобства использования двухмерных прогрессий и рассмотрения их свойств введем для них следующие понятия.

Х уровень первого измерения двухмерной прогрессии – совокупность членов рассматриваемой прогрессии с порядковым номером Х в первом измерении, где X любое натуральное число.

Х уровень второго измерения двухмерной прогрессии – совокупность членов рассматриваемой прогрессии с порядковым номером Х во втором измерении, где X любое натуральное число.

Развитие прогрессии – переход от одного члена прогрессии к следующему.

Первый член двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковые номера в обоих измерениях равны единице.

Шаг прогрессии – совокупность членов данной прогрессии, равноудаленных в развитии от первого члена прогрессии. Из данного определения логически вытекает свойство членов одного шага двухмерной прогрессии – они имеют одинаковые значения суммы своих порядковых номеров первого и второго измерений.

Первый член в первом измерении двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковый номер в первом измерении данной прогрессии равен единице.

Первый член во втором измерении двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковый номер во втором измерении данной прогрессии равен единице.

Первый член двухмерной прогрессии является первым членом в обоих измерениях данной прогрессии.

Первый ряд двухмерной прогрессии - упорядоченная совокупность членов первого измерения данной прогрессии, являющихся первыми членами второго измерения.

Первый член Х шага прогрессии – член Х шага, входящий в состав первого ряда прогрессии, где Х любое натуральные число.

Номер шага прогрессии – число равное порядковому номеру первого члена шага прогрессии в первом измерении.

Таким образом, в данной работе представлена концепция двухмерных математических прогрессий и введены основные понятия, позволяющие изучить их математические свойства.