Математика/5. Математическое моделирование

Онишкова А. М.

Южный федеральный университет, Россия

Численное исследование плоской контактной задачи с сухим трением

Математические модели многих физических процессов приводят к плоским задачам о контакте полупространств с сухим трением, при котором поперечные эффекты и нормальное давление распределены по Герцу. Примером является плоская задача для двух цилиндров, катящихся друг по другу с сухим трением. Для решения контактных задач с неизвестной границей используются методы линейного программирования, также широко применяются вариационные методы [1]. Идея решения такой задачи состоит в определении экстремального или стационарного решения соответствующего функционала. Численное исследование таких задач встречает значительные сложности. В данной работе предложен некоторый численный алгоритм для решения задач с неизвестными границами с использованием генетического алгоритма.

Рассмотрим два тела, соприкасающихся по поверхности Р, называемой зона контакта (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Два прижатых друг к другу цилиндра

x- радиус-вектор точек поверхности.

Сила сцепления, прикладываемая телом 1 к телу 2, является функцией координаты и раскладывается на Z(x) и X(x). Z(x) – нормальная составляющая, перпендикулярная поверхности контакта. X(x) –касательная сила сцепления, которая подчиняется закону Кулона-Амонтона, по которому зона контакта (Е) делится на зоны скольжения (Е₊) и сцепления (Е₀): Е = Е₊ Е_0.

Для Z(x) известно: Z(x)≥0 в R, Z(x) = 0 вне зоны контакта. В зоне скольжения: X(x) = µZ(x)e(x), где e(x)=v(x)/||v(x)|| - единичный вектор в направлении скольжения. v≠0. Здесь v(x) – местная скорость тела 1 относительно тела 2, µ -постоянный коэффициент трения (в общем случае переменный). В области сцепления v(x)=0. Кроме того, ||X(x)||≤µZ(x).

Нормальное давление распределено по Герцу:

Z(x,t)= Q(t), Q(t)={+}

, R_i – радиус кривизны тела i в начале координат.

Задача состоит в минимизации разности между мощностью, рассматриваемой кулоновой силой сцепления, обусловленной скольжением, и мощностью, рассеиваемой силой сцепления, вызывающей это скольжение. Таким образом, неизвестная граница находится из условий минимума функционала F.

Генетический алгоритм (ГА) - это метод решения задач оптимизации на основе естественного отбора. Генетические операции (скрещивание, мутация, выбор) напоминают процесс наследования генов при создании нового отпрыска в каждой генерации. ГА представляет собой класс поисковых методов общего назначения, которые комбинируют элементы существующих поисковых стратегий эксплуатации наилучшего решения (градиентный метод) и исследования пространства решений (случайный поиск). Кроме того, ГА не имеет значительных математических требований к видам целевых функций и ограничений. Эволюционные операции генетических алгоритмов позволяют эффективно отыскивать глобальный оптимум.

Алгоритм решения:

1. –a≤x≤a. Задаем a, h-шаг разбиения, µ.

2. Принимаем, что сила сцепления описывается кусочно-линейной функцией.

3. Путем преобразований в [1] получаем выражение для интеграла

min F = Z_α(a_α+b_α) – v(fVZ_i) –Z_i(p_i–q_i), где переменными являются a_α, b_α, p_α, q_α, v₁,v₂.

4. Запускаем для функционала генетический алгоритм.

Разработан численный алгоритм, позволяет найти положение свободной границы, которое определяется из условия минимальности соответствующего функционала. Выявлено, что увеличение скорости проскальзывания приводит к вырождению области сцепления Е₀ (см. рисунок 2) и возрастанию коэффициента трения:

Разработанный алгоритм позволяет определить области сцепления Е₀.

Литература:

1. Калкер Й. Принцип минимума для закона сухого трения с приложением к задаче о качении упругих цилиндров. Основные положения. //Прикладная механика. Труды Америк. Общества инженеров- механиков. 1971. С.160-166.

2. Bhattacharya K., Kohn R.V.//Arch. Rational Mech. Anal. 1997. 139, 99-180.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. –М.:Наука, 1985.

4. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB7. – СПб.: Изд. БХВ-Петербург, 2005.