Математика/5.Математическое моделирование

Докт.физ.-мат.н., проф. Валишин А.А., асп.Степанова Т.С., докт.физ.- мат.н.,проф. Карташов Э.М.

Московский государственный технологический университет тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова (МИТХТ). Россия

Прогнозирование прочности полимерных и композиционных материалов в переменных температурно- силовых внешних условиях. 3. Разрушение в условиях теплового взаимодействия с окружающей средой.

Особого внимания заслуживает режим непрерывного теплового взаимодействия материала с окружающей средой, поскольку исследование этого случая позволило объяснить аномалии, наблюдаемые на диаграммах температурно-временной зависимости прочности. Рассмотрим влияние на кинетику разрушения переходного процесса подравнивания температуры образца до температуры окружающей среды (термостата). Рассмотрим образец в виде пластинки толщиной 2δ. Релаксационный процесс изменения температуры образца до температуры термостата обусловлен тепловым взаимодействием образца с окружающей средой вследствие разности температур Т₀ – начальная температура образца и Т_С - температура окружающей среды (термостата) и описывается уравнением]:

(1)

где а – коэффициент температуропроводности материала образца; h – относительный коэффициент теплообмена. Решение уравнения (1) определяется формулой

₍₂₎

Сделаем одно уточнение этой формулы, а именно, разнесем во времени начало изменения температуры и начало разрушения (начало роста трещины). Начальный момент для температуры примем за ноль, в этот момент температура образца равна Т(0)=Т₀. Будем считать, что процесс разрушения начинается в некий момент t₀><0. Если t₀>0, то это означает, что трещина начала расти, когда температура уже была отлична от Т₀, а именно в момент начала разрушения температура образца была равна

(3)

В частности, если t₀>>χ, то можно считать, что к моменту начала разрушения температура уже отрелаксировала и сравнялась с температурой окружающей среды Т_С. В этом случае разрушение идет практически в изотермических условиях при температуре Т_С. Если t₀<0, то это означает, что разрушение началось раньше, чем начала изменяться температура. С учетом сказанного переменную температуру образца следует вместо формулы (2) записать в виде

(4)

где θ(t) – единичная функция Хевисайда, Т₀ -начальная температура испытываемого образца, Т_С -температура окружающей среды (термостата), величина ΔТ=Т_С - Т₀ положительна или отрицательна. Образец нагревается, если Т_С>T₀ и охлаждается, если Т_С<T₀; скорость выравнивания температуры определяется характеристическим временем χ=δ/ha – временем температурной релаксации. Подставим выражение (4) в уравнение обобщенного критерия разрушения и выполним предусмотренное там интегрирование. В результате получим уравнение

₍₅₎

Все параметры, входящие в это уравнение – безразмерны и расшифровываются следующим образом:

₍₆₎

₍₇₎

Формулы (5), (6), (7) содержат три группы параметров: структурно – физические параметры U₀, γ, τ₀, T_П, χ , характеризующие свойства исследуемого материала, тепловые параметры Т₀, Т_С, характеризующие тепловое состояние эксперимента и силовые механические параметры – внешнее механическое напряжение σ и его безразмерный эквивалент , а также безразмерные комплексы, составленные из этих параметров. Численное решение уравнения (5) позволяет найти безразмерную динамическую долговечность z_P и реальную долговечность t_P. Варьируя структурные, механические и тепловые параметры в уравнении (5), можно исследовать прочностное поведение различных материалов в различных условиях. Компьютерная «игра» с уравнением (5) позволила получить интересные физические результаты. Были проведены численные эксперименты для гидратцелюлозы и неорганического стекла. Кривые, описывающие долговечность образца в условиях непрерывного нагревания и охлаждения в соответствии с принятой моделью теплового взаимодействия образца с термостатом, показаны на рис.1 и 2. Расчеты показали, что в области малых напряжений, где процесс разрушения развивается медленно, температура образца успевает выровняться до температуры окружающей среды и долговечность практически совпадает с долговечностью при постоянной температуре, равной температуре окружающей среды Т_С. С другой стороны, в области больших напряжений, где процесс разрушения развивается быстро, температура образца не успевает существенно измениться, и долговечность близка к долговечности при постоянной температуре, равной начальной температуре Т(t₀). В промежуточной области напряжений наблюдается плавный переход кривой временной зависимости прочности, свидетельствующий о влиянии переменного теплового режима на характер разрушения в данном интервале напряжений.

Рис.1 Временная зависимость прочности

неорганического стекла в условиях

непрерывного теплового взаимодействия

напряженного образца с окружающей средой:

Рис. 2 Временная зависимость прочности

гидратцеллюлозы в условиях непрерывного

теплового взаимодействия напряженного

образца с окружающей средой при : 1 – охлаждение; 2 – нагревание.

Компьютерные эксперименты с уравнением (5) показали, что изменение температуры образца во время разрушения по-разному влияет на кинетику разрушения. Это влияние определяется безразмерным характеристическим параметром , равным отношению долговечности при данном напряжении и постоянной температуре, соответствующей началу роста трещины, к времени релаксации температуры. Численные эксперименты показали, что значения характеристического параметра выделяют два крайних случая. Если ω<<1, то разрушение закончиться раньше, чем сколько-нибудь заметно изменится температура. В этом случае разрушение происходит практически при постоянной температуре, равной начальной. Если, наоборот, характеристический параметр ω>>1, то большую часть времени разрушение происходит опять-таки при постоянной температуре, но равной уже температуре термостата, т.е. температура образца отрелаксирует раньше, чем существенно накопятся повреждения. Наиболее интересны промежуточные случаи, которые подробно исследованы. Если температура образца в начальный момент разрушения ниже температуры термостата, то непрерывное повышение температуры образца снижает долговечность. Существует интервал напряжений, где существенно влияние переменной температуры. Слева от этого интервала температура образца успевает выровняться раньше, чем образец разрушиться. По другую сторону интервала, справа, разрушение закончится раньше, чем образец успеет нагреться. При охлаждении образца картина сложнее. При непрерывном понижении температуры скорость разрушения регулируется двумя противоположными факторами. С одной стороны, скорость трещины растет со временем по мере увеличения ее размеров, с другой стороны, понижение температуры приводит к замедлению трещины. Поэтому существует случай, когда процесс разрушения становится стационарным, т.е. трещина растет с постоянной скоростью. Найдено напряжение стационарного роста. Это неустойчивый случай, по этой причине он практически не реализуется. Если напряжение больше или меньше стационарного, то появляется переходная область, где существенно сказывается влияние переменного режима охлаждения. Численные расчеты произведены для двух материалов: гидратцеллюлозы и неорганического стекла. Рисунки 1 и 2 иллюстрируют это. Предложенная модель позволяет объяснить некоторые аномалии на диаграммах долговечности, а именно, изломы прямых долговечности. Одной из причин этих аномалий, несомненно, является непрерывное тепловое взаимодействие нагруженного образца с термостатом, т.е. испытания на долговечность, вероятно, производились в условиях неполного теплового равновесия образца с окружающей средой. Компьютерные эксперименты показали, что достаточно небольшой разницы начальной температуры образца и температуры термостата, чтобы на диаграмме долговечности появилась переходная область, напоминающая упомянутые аномалии и обусловленная процессом выравнивания температуры напряженного образца с течением времени.