Саакян Г.Г.

Арцахский государственный университет,

зав. кафедрой прикладной математики и информатики

Об одном критерии осцилляции линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка

Рассматривается система

(1)

где функции локально суммируемы и абсолютно непрерывны.

Определение. Нетривиальное решение системы (1) называется осциллирующим, если функция имеет по крайней мере один нуль в некоторой окрестности , в противном случае решени называется неосциллирующим.
Известно (см., например, [1], [2]), что если система имеет одно осциллирующее решение, то тогда каждая из его нетривиальных решений является осциллирующим.

Имеет место

Теорема. Пусть

, (2)

и

, (3)

где

, (4)

и -достаточно большое число. Тогда решение системы (1), заданное в некоторой окрестности , является осциллирующим.

Идея и ход доказательства. Допустим противное. Тогда, в силу условия (2), найдется -- решение системы (1) и такие, что

и при .

Учитывая первое равенство системы (1), при легко получить, что

.

Проинтегрировав это равенство от до , и, учитывая (1) и (4), будем иметь

. (5)

С учетом (1) и (4), последнее равенство можно записать в виде

(6) .

Из (6), при , нетрудно получить неравенство

.

Из этого неравенства, с учетом (3), будет следует существование такого, что при

(7)

В силу (4), (6) и (7), найдется такое, что при

(8)

Откуда, при , будет следовать наеравенство

.

Умножив обе части последнего неравенства на и проинтегрировав полученнное от до , с учетом (1) и (7), получим

.

Тогда из (8) при будем иметь

. (9)

Из (1), (7) и (9) будет следовать, что при

.

Проинтегрировав последнее неравенство мы придем к противоречию с условием (2).

Литература.

1. J. D. Mirzov, On some analogues of Sturm’s and Knezer’s theorems for nonlinear systems. J. Math. Anal. Appl. 53(1976), № 2, 418-425.

2. Д. Д. Мирзов. Асимптотическое поведение решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных уравнений. Майкоп. 1993

3. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.; Мир, 1970.