К.т.н. Федосеев В.М.
Пензенская государственная технологическая академия,
Россия
Способ аппроксимации логарифмической функции
Многочленные аппроксимации логарифмической функции имеют существенные
недостатки. Не лишены их и другие виды аппроксимаций. В работе рассматривается подход
к аппроксимации логарифмической функции, отличающийся по своим свойствам от
известных способов и благодаря этому
компенсирующий присущие им недостатки. Он особенно удобен при работе с
логарифмическими моделями в задачах динамики, когда требуется в широком
диапазоне определять значения логарифмов больших чисел.
Из
математического анализа известно предельное равенство:
,
в котором предел
С (постоянная Эйлера) имеет значение С = 0,57721566490…. Отсюда следует, что
для логарифмов натуральных чисел имеет место асимптотическая формула:
(1)
или её улучшенный вариант (находится из формулы
Эйлера-Маклорена):
. (2)
Для наших целей формула (1) видоизменяется следующим
образом:
. (3)
Для формулы (2) отклонение частей асимптотически оценивается
величиной . Можно доказать, что в случае формулы (3) аналогичная оценка
имеет значение
.
Для
того чтобы получить выражение, аппроксимирующее логарифмическую функцию при
действительных значениях аргумента, запишем уравнение касательной прямой к
графику функции в точке
, воспользовавшись для значения логарифма формулой (3) при
обозначении
(целая часть числа
), и в итоге получим:
. (4)
Если же
для составления аппроксимирующей
функции воспользоваться дробно-линейной интерполяцией на узлах: , при условии вычисления соответствующих значений логарифма
по формулам (2) и (3), то получим другую формулу:
. (5)
Как это будет видно из дальнейшего содержания, формула
(5) по сравнению с формулой (4) обладает рядом преимущеcтв. На рис. 1 и 2 показаны графики аппроксимирующих
функций из формул (4) и (5), иллюстрирующие поведение функций и
на отрезке
.
Рис. 1. Рис. 2.
Чтобы
убедиться в эффективности формул (4) и (5) вычислим натуральный логарифм
полного угла . В этом случае имеем:
,
, и после подстановки соответственно найдём:
,
.
Так как искомое число равно , то отклонение найденных значений логарифма от истинного
составило: в случае использования формулы (4) -
, формулы (5) -
.
Общие оценки
точности формул (4) и (5) следуют из теоремы:
Максимальное
значение отклонения на отрезке
имеет место при
и составляет
; для функции
при тех же условиях
величина отклонения оценивается неравенством
.
Доказательство теоремы основано на приведённых выше оценках для формул
(2) и (3).
Свойства аппроксимации :
1) графиком функции является кусочная кривая, состоящая из ветвей, заданных на
отрезках
,
;
2)
функция непрерывна (в точках
стыка составных частей их значения совпадают);
3) при
достаточно больших значениях отклонение функции
от логарифма
становится сколь угодно малым, при этом имеет место оценка
;
4) совпадение
производных логарифма и аппроксимирующей функции происходит при х= [x]+0,5, в
остальных точках отклонение производных имеет величину порядка
; на такую же величину расходятся значения производных
составных частей
в точках стыка.
Таким образом, предлагаемый вид
аппроксимации представляет собой конструкцию сплайнового типа, но в отличие от
полиномиального сплайна в данном случае мы имеем общее аналитическое выражение
для всех ветвей сплайна, и при этом оно распространяется на интервалы
бесконечной длины.