Копжасарова
А.А., Медетбекова Р.А.
Южно-Казахстанский
государственный университет
имени М.Ауезова, Шымкент, Казахстан
Оценка
спектра одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа в
прямоугольнике
Необходимо обозначения и определения.
Прежде чем
начать изложение результатов, полученных в данной и последующих разделах,
приведем ряд известных определений и необходимых обозначений.
-n мерное вещественное евклидово пространство; в
частности при n=2 получаем двумерное евклидового
пространство точек z=(x,y), где 
-открытая область в 
(в частности в 
), через 
обозначим замыкание
множества 
;
- множество непрерывных функций, имеющих непрерывные частные
производные в 
до порядка 
включительно; в
частности, если 
- область из 
, то частные производные для некоторой функций 
можно будет записать в виде
где 
и 
-целые неотрицательные числа.
-множество бесконечно дифференцируемых в 
функций;
Пусть для определенности 
область из 
, а 
-ее замыкание.
Рассмотрим
дифференциальный оператор гиперболического
типа
(1.2.1)
первоначально
определенный на 
, где
множество,
состоящее из бесконечно дифференцируемых функций и удовлетворяющих условиям:
и финитных по переменной у.
Отметим,
что оператор L допускает замыкание и его также; обозначим
через L.
Формулировка основных результатов
Теорема
1.2.1. Пусть выполнено условие:
i)
непрерывные функции на отрезке[-1,1]:
Тогда:
а) оператор (L + 
Е) при 
> 0 непрерывно
обратим,:
б)
операторы r(y)Dx(L +
Е)-1, r(y)Dy{L + 
Е1)-1 ограничены в
здесь 
- непрерывная,
функция па отрезке /1,1/.
Вспомогательные леммы и неравенства.
Рассмотрим
оператор 
первоначально определенный на 
.
Лемма
1.2.1. Пусть выполнено условие i). Тогда при 
>0 существует непрерывный обратный (
определенный в 
где 
) обратный
оператор к замкнутому оператору 1п + 
Е.
Доказательство.
Для любого и(у)
имеем:
<
Интегрируя
правую сторону по частям получим:
Отсюда
учитывая условие i) находим:
Теперь,
пользуясь неравенством Коши-Буняковского получаем, что
(1.2.3)
Далее,
если показать, что множество (ln +
E)D(ln) плотно в L2, то
будет следовать, что оператор (1п + 
Е) имеет непрерывный обратный оператор (1п+
Е)-1. Мы докажем это от противного.
Допустим,
что множество (ln + 
E)D(ln) не является плотным в 
Тогда
существует элемент v
такой, что 
для всех 
. Это показывает
в
смысле теории распределении.
Поскольку
функции а(y), c(y),
ограниченные, непрерывные функции па отрезке [-1,1]. Тогда функции 
и следовательно 
.
Покажем,
что элемент v, для
которого (ln* + 
E)v = 0 принадлежит 
т.е.
В
этом можем убедиться, интегрируя по частям:
Здесь
мы воспользовались тем, что 
.
Далее,
П
предположению 
= 0, следовательно 
Отсюда в силу
произвольности функции и следует, что
Таким
образом окончательно имеем, что
Для
завершения остается доказать, что справедливо неравенство
(1.2.4)
Для
этого скалярное произведение |< 
v,v>| интегрируем
по частям и учитываем, что вне интегральные члены исчезают в силу только
что написанных краевых условий, и
получим:
Теперь,
пользуясь неравенством Коши-Буняковского и учитывая условие
i),
получим неравенство:
Из
неравенства (1.2.4), в силу (l* + 
)v=0 следует, что v=0
Лемма 1.2.1 доказана полностью.
Лемма
1.2.2. Пусть выполнено условие г).
Тогда оператор L+
при 
непрерывно обратим, и для, него
справедливо равенство:
(1.2.5)
смысле 
Доказательство. Из леммы 1.2.1 получаем, что
является
решением уравнения
(1.2.7)
где 
в силу
(1.2.3) имеем:
(1.2.8)
с- постоянное число, независящая от k.
Так
как 
то из (1.2.8) находим, что
Отсюда,
в силу полноты пространства L2
следует, что существует единственная функция
, такая что
при 
(1.2.9)
Из
(1.2.7), (1.2.9) следует, что
Последние
неравенства дают, что 
является решением уравнения Lu= f, а из (1.2.6) имеем, что
Доказательство
теоремы 1.2.1. Доказательство пункта
а) теоремы 1.2.1 сразу вытекает из леммы 1.2.2.
Докажем
пункт б) теоремы 1.2.1. В силу пункта а) и леммы 1.2.4 имеем
Отсюда
Далее,
вычислим норму:
Отсюда в силу
леммы 1.2.5 получаем, что
Пункт
б) теоремы 1.2.1 доказан.
Список использованной литературы
1.Муратбеков М.Б. Муратбеков М.М., Оспанов К.Н. Об аппроксимативных свойствах решения нелинейного уравнения смешанного типа. // Фундаментальная и прикладная математика. Из-во МГУ,2006.Т.12,№5.C.95-107.
2. Отелбаев М. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля. Алма-Ата. 1990.190с.
3. Отелбаев М. Оценки спектра эллиптических операторов и теоремы вложения, связанные с ними. – Диссертация доктора физ.-матем. наук., Москва, 1979.