Економічні науки / 14.Економічна теорія

к.е.н., доцент Клименко Н.,

студентка напряму підготовки «Економічна кібернетика» Букет А.,

Національний університет біоресурсів і природокористування України

Сучасний погляд на теорію катастроф

Стародавні філософи розуміли, що навіть малі зміни, що порушують гармонію, можуть суттєво змінити світ, повергнути його в хаос. Багато століть їх увагу займали саме закони цієї гармонії, в ній вони бачили прояв божественної волі, що утримує світ в цілісності. Починаючи з піфагорійців, які відкрили, що ці закони можуть бути записані на мові цифр і геометричних фігур, математику стали використовувати як засіб відображення ідеальних законів природи, в якій всі протилежності відповідні і врівноважені.

Лише в ХХ столітті з'явилися роботи, в яких всерйоз заговорили про те, що нестійкості (невизначеність) настільки ж реальні, як і стан гармонії. Було усвідомлено, що будь-яка система, розвиваючись, проходить наступні етапи: перебудови, різкої зміни, під час яких відбувається перегрупування сил і зміна рівноваги. Ці етапи характеризуються тимчасовою перевагою однієї з сил, що призводить до хаосу, що руйнує попередні структури, потім відбувається гармонізація, рівновага відновлюється, але вже в новому, якісно іншому стані.

Однією з математичних теорій, що описують різкі переходи, є теорія катастроф. Як наукова дисципліна вона з'явилася в 70-х роках минулого століття. Важливою перевагою цієї теорії є те, що вона не вимагає докладних математичних моделей і може описувати ситуації не «кількісно», а «якісно», її результати та висновки ілюструються простими геометричними образами.

Теорія катастроф, стоїть поряд з іншими сучасними теоріями динамічних систем, що вже в значній мірі змінила звичні уявлення про стійкість і інерційне створення світу. Завдяки їй ми сьогодні краще розуміємо свою відповідальність за можливі порушення гармонії та рівноваги протилежних природних сил, до яких веде необмежене зростання промислового виробництва в суспільстві споживання.

Перші відомості про теорію катастроф з'явилися у західній пресі в 1970 році, в журналах типу «NewsWeek», де повідомлялося про переворот у математиці, порівнянному хіба що з винаходом Ньютона: диференціального й інтегрального обчислення. Стверджувалося, що нова наука – теорія катастроф – для людства набагато цінніше, ніж математичний аналіз: у той час як теорія Ньютона дозволяє дослідити лише плавні, безперервні процеси, теорія катастроф дає універсальний метод дослідження всіх стрибкоподібних переходів, розривів, раптових якісних змін. Починаючи з цього моменту, теорія катастроф ступила на шлях кібернетики.

Засновником сучасної теорії катастроф є Рене Том, який в 1972 році запропонував використовувати топологічну теорію динамічних систем для моделювання розривних змін в явищах природи. Термін «катастрофа» був введений Томом для позначення якісної зміни об'єкта при плавній зміні параметрів, від яких він залежить [1 c.62].

Джерелами теорії катастроф є теорія особливостей Уітні і теорія біфуркації в динамічних системах Пуанкаре і Андронова. Щодо використання понятійного апарату теорія катастроф щільно поєднана з синергетикою, теорією хаосу і нелінійною динамікою.

Область дії катастроф – це спрощені припущення, щодо системи рівнянь, які описують поведінку системи.

Предметом вивчення теорії катастроф є класифікація станів рівноваги градієнтних систем, які можуть проявлятися як раптові стрибки, тобто катастрофи в поведінці динамічної системи.

Про наявність катастрофи свідчать спеціальні критичні точки сімейства потенційних функцій, якими описується система або явище. Однак такі точки дуже часто не можна впізнати відразу. Тим не менш, катастрофи часто зустрічаються в реальних ситуаціях, і важливо вміти їх вчасно розпізнавати. Катастрофи мають відмінні риси – «флаги», які дозволяють привернути увагу до даного процесу[2 c.94].

Щоб продемонструвати ці ситуації, можна навести безліч прикладів з фізики, але звернемося краще до прикладів більш «життєвих». Всім нам після закінчення середньої школи доводилося обирати свій подальший життєвий шлях. Перший «флаг» катастрофи – існування різних стійких станів – проявляється в тому, що ми можемо бачити кілька різних привабливих для нас варіантів діяльності. Це певна кількість інститутів, в які ми можемо поступити, кілька фірм, де нас згідні прийняти на роботу. Поряд з цим присутній і другий «флаг» – нестійкі стани – місця, де ми вже точно надовго не затримаємося. Третій «флаг»: прийнявши рішення і ставши, наприклад, студентом, відбуваються стрімкі зміні – і зовнішні (змінюється наш соціальний статус, з'являються власні гроші, нехай невеликі), і внутрішні (ми стрімко дорослішаємо). Четвертий «флаг»: після вибору зворотний шлях практично неможливий – щоб нас відрахували з 1 курсу, ще до сесії, потрібно накоїти щось грандіозне. Але вже якщо відрахували, то просто так назад не приймуть, і треба чекати відповідних умов – нових прийомних іспитів. Це п'ятий «флаг» катастрофи.

Ще одним «флагом» катастрофи являється так зване «критичне уповільнення», коли безліч зусиль не призводить до значної зміни ситуації. Такий «флаг» був зафіксований на історичному шляху нашої країни в 80-і роки, коли колосальні кошти, що вкладалися в економіку, наприклад в сільське господарство, йшли наче в пісок, нічого істотно не змінюючи.

Як тільки зафіксований хоча б один з цих «флагів», тобто встановлена ознака, що свідчить про присутність в системі катастрофи, керуючі параметри системи можна змінити так, щоб виявити й інші «флаги», які при відповідних умовах повинні обов'язково проявитися.

Встановлення наявності і типу катастрофи у разі невизначеності в описі системи допомагає визначити наступне:

• Спрощену модельну потенційну функцію, яка залежить тільки від істотних змінних стану і керуючих параметрів;

• Структурно стійку частину потенційної функції, яка може підказати, який в дійсності процес має місце;

• Тип керування для системи і те, яким чином потенційна функція в нього потрапляє;

• Непотрібність використання рівнянь взагалі.

Перейдемо до розгляду основних ознак катастрофи [2 c.95]:

1) Модальність.

Система може мати два або більше різних станів в певній області зміни керуючих параметрів. Наприклад, якщо керуючі параметри системи знаходяться в заштрихованій області, то система може перебувати в трьох різних станах

2) Недосяжність.

Існує область недосяжних нестійких станів рівноваги, до яких не можливо потрапити, рухаючись з будь-якого стійкого стану.

3) Катастрофічні стрибки.

Незначні зміни у значеннях керуючих параметрів можуть викликати великі зміни у значеннях змінних стану системи в міру того, як система перескакує з одного локального мінімуму в інший, перехід з одного локального мінімуму в інший проявляється у зміні значень змінної стану.

4) Розбіжність.

Кінцеві зміни в значенні керуючих параметрів призводять до змін, а значення змінних стану в точці рівноваги. Звичайно зміни у вихідних значеннях керуючих параметрів ведуть лише до невеликої зміни початкових і кінцевих значень змінних стану. Однак при наявності катастрофи малі зміни початкових значень змінних стану можуть призвести до великих змін кінцевих значень цих змінних.

5) Гістерезис і незворотність.

Гістерезис має місце, коли процес не є повністю зворотнім. Стрибок з локального мінімуму 1 в локальний мінімум 2 може не відбутися при тих же значеннях керуючих змінних, хоча стрибок з точки 2 у точку 1 мав місце при русі у зворотний бік [3 c.98].

Основними припущеннями теорії катастроф є:

1. Система є динамічною, її стан змінюється у часі.

2. Принцип максимального зволікання: система прагне зберігати свій стан як можна довше.

3. Поточні стан системи залежить від того, яким чином система прийшла в цей стан.

4. Траєкторії системи незворотні, при зміні керуючих параметрів системи в точності протилежним чином система не обов'язково прийде до початкового стану.

Теорія катастроф є однією з частин загальної математичної теорії – якісної теорії складних нелінійних систем. Ця теорія вивчає загальні принципи, які проявляються в різних ситуаціях, і допомагає краще зрозуміти механізм дії природних сил. Один з таких механізмів описує взаємодію долі і свободи вибору, і математична модель цієї взаємодії є дуже близькою до міфологічної.

Усе на світі є змінним, «усе тече та минає». Проте, є й закономірності. Наприклад, поставили кип’ятити воду: спочатку все йде плавно і гладко, а потім враз з’являються бульбашки, пара. Або землетрус: здається все йде як завжди, а ж раптом починають валитися будинки, утворюватися в землі тріщини.

Такі різкі зміни Том Рене охрестив як катастрофи, можливо, щоб надати відчуття різкості чи драматизму, адже це слово також несе в собі відтінок якоїсь біди. Предмет, що вивчає такого типу катастрофи, з тих часів став відомим як теорія катастроф.

Але це все так досить загально. Якщо висловлюватися більш математичними термінами, то катастрофою називається втрата системи стійкості або ж, якщо бути точнішим, стрибкоподібна зміна її стану, викликана при плавній зміні зовнішніх умов. А математична теорія, що аналізує поведінку динамічних систем при змінні її параметрів, – теорією катастроф.

Якісні зміни в поведінці різних фізичних систем активно вивчалися і вивчаються в традиційних підходах, але теорія катастроф проливає світло і на більш складні проблеми подібного роду. В результаті відкривається можливість узагальнень, що глибоко і далеко йдуть.

Математичні моделі катастроф указують, про те, що деякі загальні риси самих різних явищ стрибкоподібної зміни режиму системи у відповідь на плавну зміну зовнішніх умов. Це пояснюється, чому так важко боротися з катастрофою, коли її ознаки зробилися вже помітними: швидкість її наближення необмежено зростає у міру наближення до катастрофи.

Теорії катастроф застосовується всюди де тільки можна, як в багатьох областях сучасної науки (фізики, біології, географії, лінгвістиці, психології, соціології), так і в практичних сферах людської діяльності і людського буття (соціальної, політичної, економічної й ін.). Завдяки їй розроблені найсучасніші методики кораблебудування, досліджено природу заломлення проміння і утворення веселки, геометрію потоку рідин, також багато зроблено для оптики та теорії розсіяння та багато іншого.

Література:

1. В.-Б. Занг Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. – М.: Мир 1999. – 335 с., ил.

2. Моделирование экономической динамики: Учебное пособие/ Клебанова Т.С. – 2 изд., стереотип. – Х.: Издательство Дом «ИНЖЭК», 2005.- 244 с. Русск. Яз.

3. Н.С. Неделько Использование теории катастроф к анализу поведения экономических систем/ Вестник МГТУ, том 13, №1, 223-227 с., 2010