География и геология/ 5. Картография и геоинформатика

Амренов К.А., Мамат-Тохтаева Д.А.

Градостроительный кадастровый центр г.Караганды, Казахстан

Вычерчивание кривой по точкам

Процесс генерализации во многом противоречив. Во-первых, некоторые элементы не могут быть показаны на карте по условиям пространства, но должны быть отражены на ней в силу своей содержательной значимости. Во-вторых, часто возникает противоречие между геометрической точностью и содержательным соответствием изображения, иначе говоря, пространственные соотношения объектов передаются верно, а геометрическая точность оказывается при этом нарушенной. В-третьих, в ходе генерализации происходит не только исключение деталей изображения, потеря информации, но и появление на карте новой обобщенной информации[1].

В данной работе основное внимание направлено на рассмотрение геометрической точности. Геометрическая точность карты предполагает, что каждый объект земной поверхности изображается на карте точно на своем месте, в своих действительных плановых очертаниях и размерах с сохранением правильного взаиморасположения всех объектов и расстояний между ними соответственно масштабу карты.

Географическое соответствие требует, чтобы карта передавала действительность в ее главных, типических чертах, правильно показывала взаимосвязи изображаемых сторон действительности и выявляла характерные особенности - географическую специфику местности. Генерализация удовлетворяет этому требованию. В ходе генерализации происходят смещения контуров и линий, исключение или объединение некоторых объектов утрирование характерных деталей - все это не может не сказаться на геометрической точности картографического изображения. Известно, например, что знак автострады имеет на карте ширину около 0,6 мм, в масштабе 1:1 000 000 это составляет 600 м, таким образом, геометрическая точность нарушается примерно в 100 раз. Ширина железной дороги, идущей параллельно автостраде, тоже резко преувеличивается, и таким образом населенный пункт, расположенный на этих магистралях, оказывается сдвинут на много сотен метров. Получается, что геометрическая точность резко нарушена, а содержательное соответствие сохранено.

При генерализации рельефа на картах средних и мелких масштабов при редком сечении горизонталей инструкции допускают сдвиг отдельных горизонталей вверх или вниз по склону, «затяжку» их вверх по тальвегам и т.п. Такие приемы рисовки правдоподобно передают морфологию рельефа, но существенно нарушают геометрическую точность.

Еще более возрастают сдвиги, смещения и иные искажения при автоматической генерализации, когда обобщение производят по некоторым формальным алгоритмам. Генерализованная линия или контур нередко оказываются сдвинутыми относительно их положения на исходной карте. В целом можно сказать, что при генерализации геометрическая точность всегда нарушается ради сохранения содержательного подобия.

В связи с этим предлагается совершенствование автоматизированной генерализации с целью наименьшего искажения геометрической точности объекта, не нарушая при этом и содержательного подобия. Для этого необходимо выполнить сглаживание линии посредством аппроксимации, т.е. приближения геометрически неправильной линии (формы) с помощью некоторой математической кривой.

Разработка математических основ генерализации приобрела большое значение в связи с внедрением автоматики в процессы создания и использования карт. В данной работе для решения данной проблемы нами предлагается метод сплайнов, которые имеют ряд преимуществ перед другими аппаратами приближения функций, применяемых для восстановления дискретизированных сигналов при создании цифровых карт [2].

Конкретная цель большей части исследований, посвященных одномерным сплайнам, состоит в вычерчивании кривой по точкам. Тем не менее такое вычерчивание остается искусством, и необходимо указать некоторые технические приемы, используемые при применении сплайнов в этом искусстве.

Обычно желательно применять более или менее равномерные распределения точек сетки. Если длинный и короткий интервалы расположены рядом, то часто возникают колебания, вовсе не свойственные исходным данным. Влияние краевого условия, выбранного для данной дуги, если этот выбор сделан неудачно, быстро затухает по мере удаления от крайних точек дуги. При вычерчивании кривой по точкам часто бывает необходимо более или менее точно определить наклон в конце дуги. Выбор краевого условия действительно оказывает некоторое влияние на величину этого наклона. Если крайние точки являются точками перегиба, то можно использовать условие М₀ = М_N = 0.

При отсутствии оснований для другого выбора можно полагать М₀ = М₁, M_N-1=M_N. Однако построенная кривая может оказывать резкое воздействие на поведение величин М_j вблизи концов, которому данное краевое условие, по-видимому, противоречит. В этой ситуации часто применяются более общие краевые условия: М₀ = λ₀M₁, M_N = μ_NM_N-1, где λ₀ и μ_N подбираются в соответствии с этим поведением.

Аналогичная задача возникает при вычерчивании по точкам вблизи конца, в котором наклон и кривизна уменьшаются по величине, например при вычерчивании кривой у =√x, 0≤x≤10, вблизи конца х = 10. Поведение этой кривой не соответствует естественному ходу кубического полинома и вычерчивание по точкам не даст хорошего результата, если существенно не увеличивать промежутки сетки при приближении к концу х = 10. Вблизи конца х = 0 хорошему вычерчиванию этой кривой по точкам с помощью сплайна мешает также наличие здесь вертикальной касательной.

Некоторые трудности, возникающие при вычерчивании кривой по точкам, можно исключить подходящей заменой координат. Однако во многих задачах появляются трудности по существу, и необходима техника применения сплайнов, позволяющая их обходить. Очень эффективным оказывается параметрическое представление. Пусть на дуге С последовательно расположены N+ 1 точек Р_j (x_j, у_j) (j = 0, 1, . . ., N), и пусть s_j обозначает суммарную длину хорд

Мы строим сплайны, зависящие от s и проходящие через точки (x_j, s_j) и (y_j, s_j) соответственно. Можно приближенно вычислить длины отрезков получившейся кривой х = х (s), у = у (s) и построить новые сплайны для х и у в зависимости от суммарных длин хорд, но этот шаг обычно не приводит к заметному изменению самой кривой [3].

В результате всего выше сказанного получается, что наш метод решает проблему графического построения при осуществлении генерализации карт с помощью вычерчивания генерализируемого участка по точкам.

Литература:

1. Берлянт А. М. Картография. М.: Аспект-Пресс, 2003, 167 с.

2. Верещака Т. В. Топографические карты: научные основы содержания. М.: МАИК «Наука»/Интерпериодика», 2002. 319 с.

3. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: «Мир», 1972. 53 c.