Экономика/8

Броншпак Г.К.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства им. П.Василенко

Проблема устойчивости в матричном анализе и ее экономические интерпретации

На основании анализа материалов специальных источников, в сообщении приведены характерные примеры неустойчивости свойств матриц и решений линейных алгебраических уравнений. Обратимся к системе уравнений , где – невырожденная матрица порядка . Число обусловленности матрицы

,
где – евклидова норма матрицы ; другие, широко используемые нормы:

,

играет роль множителя в увеличении погрешности или вариации правой части [1, с. 56-58]. Оно является также мерой близости к вырожденной матрице, хотя здесь и нет точной формулировки. Если невелико, матрица – хорошо обусловлена, и наоборот.

В качестве иллюстрации рассмотрен пример:

.

Если вектор заменить на

,
то ему будет соответствовать решение .

При этом

.

Таким образом, при очень малом изменении правой части, решение совершенно преобразилось. С экономической точки зрения получается, что для покрытия минимального роста внешнего спроса в данной системе должны произойти кардинальные изменения. Ситуацию можно интерпретировать, например, как прорывный выход более дешевой продукции на монополизированный рынок.

«Одни матрицы чрезвычайно чувствительны к малым изменениям, а другие нет. Так, матрица плохо обусловлена, тогда как матрица очень даже хорошо обусловлена» [2, с. 48-50]:

.

Действительно, матрица имеет собственные значения и , поэтому и следует ожидать сильного изменения решения при незначительной вариации данных.

Далее рассмотрены две системы уравнений с матрицей и очень близкими правыми частями:

(1)

решения которых имеют вид соответственно:

,

то есть резко отличаются. Изменение пятой значащей цифры в компоненте вектора привело к изменению первой значащей цифры в решении системы. Причем не существует численного метода, который мог бы устранить такую чувствительность к малым возмущениям [2].

Отмечается, что плохую обусловленность при реализации вычислительного алгоритма в таких задачах иногда удается перенести с одного фрагмента на другой, однако ее нельзя устранить. Наряду с этим Г.Стренг на конкретном примере показал, что даже хорошо обусловленная матрица может быть «испорчена» неподходящим для нее алгоритмом. В этой связи неустойчивость по существу адекватного алгоритма численной реализации может моделировать собой дефекты функционирования экономической системы.

В случае (1) можно представить следующую картину. Два участника непрочной коалиции выпускают одинаковую продукцию. Доля второго из них на одном из рынков немного выше и, тем не менее, выручка делится пополам. Увеличение объема спроса при той же цене делает так, что один участник начинает дважды повторять освоенную им процедуру, тогда как другой вынужден покинуть рынок. Соответственно коалиция прекращает существование.

Размер матрицы на число обусловленности прямого влияния не оказывает. Если или, например, , то . Для сравнения, детерминант – очень плохой показатель обусловленности, поскольку зависит от порядка . Если матрица , то . На самом же деле эта «почти вырожденная» матрица очень хорошо обусловлена [2]. Далее Г.Стренг привел несимметричные матрицы:

,
все собственные значения которых равны единице. При

решения уравнений и имеют вид соответственно:

.

Таким образом, погрешность, уровня 1% в , вызывала «колоссальные» изменения . Повышающий коэффициент составил . Экономическая интерпретация может быть такой. Дешевый продукт с низкой эластичностью исчез. Соответственно замещающий его продукт приобретается по высокой цене.

Процедура вычисления , где

(2)
исследована в [3, с. 12-13]. Плохая обусловленность такой задачи вытекает из следующего обстоятельства. Пусть

,

тогда , однако, на самом деле . Иначе говоря, если накопление ошибок округления будет соответствовать малому возмущению матрицей , то результаты вычислений окажутся совершенно бесполезными.

Как представляется, весьма интересный результат. Он показывает, что возмущение минимальной интенсивности одного из звеньев может радикально изменить деятельность экономической системы. Однако если о ее поведении судить по величине , иначе говоря, в категориях соображений здравого смысла, то система (2) хорошо сбалансирована.

Как отмечает Б.Парлетт [4, с. 49-50], все численные методы для матриц сравнительно невысокого порядка дают числа, являющиеся точными собственными значениями матрицы , близкой к исходной. Это означает, что мала в сопоставлении с . Иначе говоря, сопоставима с ошибками округлений в машинной памяти. При этом , где – единичная ошибка округления ЭВМ, – лучшее, на что можно надеяться в общей ситуации. Для вычисления собственных значений, которые очень малы по сравнению с , это «весьма печальное обстоятельство».

В качестве примера рассмотрена матрица

,
где . Оказывается, что если к прибавить матрицу , то собственное значение изменится с на . Причем, ни один метод не сможет вычислить точнее без использования повышенной разрядности. Малое изменение любого из элементов в несравнимо большей степени сказывается на величине . То же самое имеет место в общем случае.

Заметим, погрешность вычислений можно ассоциировать с вариациями параметров системы. В предметном отношении сказанное выше означает, что система, имеющая связи существенно различающейся интенсивности, способна легко изменять поведение при слабых воздействиях. Соответственно она является также и плохо управляемой.

Матрица

,
имеет приблизительно такой же спектр собственных значений как . Если к прибавить ту же матрицу , то в ее элементы вносится очень большая относительная ошибка. И, тем не менее, она в точности соответствует той ошибке, с которой находится .

Иначе говоря, малые возмущения элементов адекватно сказываются на решении. Данное обстоятельство связано с тем, что принадлежит к специальному классу матриц, которые называют градуированными (меньшие элементы располагаются ниже главной диагонали). Таким образом, существует возможность сопряжения сильных и слабых связей в системе, что представляется весьма плодотворным для практических приложений. Вообще, целесообразным может оказаться построение некоторых подсистем в привязке к классам матриц, особенные свойства которых позволяют адаптивно компенсировать как явления неустойчивости, так и другие дефекты (см. [2, 5, 6]).

А.Н.Малышев привел пример двухдиагональной матрицы порядка , у которой на главной диагонали находятся «», а над главной диагональю «10». Ей сообщается возмущение , где , меньшее относительной погрешности большинства ЭВМ. У возмущенной матрицы

;
собственные числа оказались равными . Отмечается, что кратное собственное число матрицы возмутилось в 20 различных чисел, отстоящих от на расстояние [7, с. 106-107].

Однако и столь экзотичная, казалось бы, матрица допускает интерпретацию. Каждый из 20 участников процесса несет затраты в размере 1 ед., передавая в порядке возрастания , продукт стоимостью 10 ед. На самом деле, продукт произведен участником №1. Остальные его получают и передают, вплоть до участника №20, который ничего не получает. Продукт, стоимость которого составляет 50% суммарных затрат, достается участнику №19.

Абсурдность действий всех участников, кроме №19, очевидна. Кризис такого процесса может наступить на каждом шаге. Он неустойчив и объективно неуправляемый. Одновременно процесс является также и непрозрачным, что предоставляет определенные шансы для его реализации.

Для экономической модели «затраты – выпуск» характерны, в основном матрицы, несимметричного типа, то есть с . Спектральные задачи для них значительно сложнее, чем в случае симметрии из-за неустойчивости вычислительных процедур. Другая особенность несимметричных задач, существенно затрудняющая их исследование, заключается в том, что собственные числа могут быть комплексными. Поэтому «геометрия» возмущений собственных чисел в несимметричных задачах становится двумерной [7].

Параметр является собственным значением несимметричной матрицы и, более того, имеющей комплексные элементы, при выполнении неравенства

для хотя одного значения [8, с. 63-64]. Иначе говоря, любое собственное значение матрицы находится, по крайней мере, в одном из кругов (носящих имя Гершгорина) с центрами и радиусами , где . Собственные значения несимметричных матриц, которые заключены в областях их пересечений, не удается определять по отдельности. Соответствующие алгоритмы численной реализации отражены в [7-9].

Литература:

1. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 279 с.

2. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М.: Мир, 1980. – 454 с.

3. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. – М.: Мир, 1988. – 208 с.

4. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. – М.: Мир, 1983. – 382 с.

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 318 с.

6. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричніх неравенств. – М.: Нвука, 1972. – 232 с.

7. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. – Новосибирск: Наука, 1991. – 228 с.

8. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 303 с.

9. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. – М.: Наука, 1991. – 1988. – 240 с.