Мустафаев А.П.

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Решение простейших краевых задач для уравнения Пуассона

Пусть - полярные, а - прямоугольные координаты.

Задача I. Найти внутри кольца решение уравнения Пуассона

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

(2)

где А и В – постоянные.

Решение. Искомая функция обладает круговой симметрией и решение, вообще говоря, можно определить из уравнения

, (3)

при условии

. (4)

Но мы для нахождения общего решения уравнения (1) используем так называемый обобщенный метод характеристик. Переходя от полярной системы координат к декартовой и вводя вместо х, у новую переменную z, зависящую от характеристик:

(5)

приводит уравнение Пуассона к дифференциальному уравнению вида

. (6)

Отсюда

(7)

где и - произвольные постоянные.

Переходя к старым переменным получим

. (8)

С другой стороны и используя граничное условие (2) из (8) получим

(9)

Решая систему относительно и и подставляя полученные значения в (8) получим искомое решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2). Оно имеет вид

(10)

Задача II. Найти функцию удовлетворяющую уравнению Пуассона

(11)

внутри круга радиуса , если

. (11)

Аналогично, используя обобщенный метод характеристик, получим решение в виде

. (13)

Используя граничное условие (13), в силу ограниченности области получим

. (14)

В правильности найденных решений можно убедиться непосредственной подстановкой их в уравнения и в граничные условия.

Литература.

1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математичкой физике: Учебное пособие – М., Наука, 1980 г.

2. А.П.Мустафаев Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Materiáli IV mezinárodní vĕdecko-praktiká conference «Vĕdecké myšlené inflačního století – 2008» - Díl 13. Matematika. Praha Publishing House «Education and Science» s.r.o. 2008.