УДК 517.946
М.П.Ленюк, К.В.Пасюк
Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”
Буковинська державна фінансова академія
Моделювання
нестаціонарних температурних полів у неоднорідних середовищах з м’якими межами
методом гібридного диференціального оператора Фур’є-Лежандра-Фур’є на полярній
вісі
Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області = { (t, r): t Î (0, ¥), r Î
= (0, R1)
(R1, R2)
(R2, ¥); R0 ³ 0}
розв’язку сепаратної системи класичних рівнянь теплопровідності параболічного
та L-параболічного
типу [1]
= f1(t,
r), r Î (0, R1),
= f2(t,
r), r Î (R1,
R2), (1)
= f3(t,
r), r Î (R2, ¥)
за початковими
умовами
uj(t, r)|t = 0 = gj(r), r Î (Rj – 1, Rj), j = , R0 = 0, R3 = ¥, (2)
крайовими
умовами
= w0(t),
(3)
та
умовами спряження
, j, k = 1, 2. (4)
У рівностях (1) – (4) беруть участь
диференціальний оператор Лежандра Lm = d2/dr2 + cth r d/dr + 1/4 – m2/sh2r [2] та
диференціальний оператор
, j, m = 1, 2;
k = 0, 1, 2. (5)
Ми вважаємо, що виконані умови на
коефіцієнти: , aj > 0,
m ³ 0,
£ 0,
³ 0, |
| +
¹ 0, cj1, k =
, c11, k c21, k > 0,
cj2, k =
= 0,
=
,
=
,
º
, j, k, m = 1, 2.
Припустимо,
що задані та шукані функції є оригіналами Лапласа щодо змінної t [3]. У зображенні за Лапласом задачі (1) – (4)
ставиться у відповідність крайова задача: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи звичайних
диференціальних рівнянь
, r Î (0, R1),
, r Î (R1, R2), (6)
, r Î (R2, ¥)
за
крайовими умовами
,
(7)
та
умовами спряження
, j, k = 1, 2. (8)
У
рівностях (6) – (8) прийняті
позначення:
,
, p = s + is, i2 = –1;
,
,
,
,
,
,j, k = 1, 2,
,
.
Зафіксуємо ту вітку двозначної функції
, на якій Reqj > 0
для j =
.
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального
рівняння Фур’є (d2/dr2 – q2)v = 0 утворюють функції v1 = exp(qr) та v2 = exp(–qr) або їх лінійні комбінації chqr та shqr [4]. Фундаментальну систему розв’язків для
диференціального рівняння Лежандра (Lµ – q2)v = 0 утворюють модифіковані
приєднані функції Лежандра 1-го роду та 2-го роду
[2].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє
будувати загальний розв’язок крайової задачі (6) – (8) методом функцій Коші [4,
5]:
,
, (9)
.
Тут – функції Коші [4, 5]:
, (10)
де j1(r) = 1, j2(r) = (sh r)–1, j3(r) = 1.
Визначимо функції
º
,
º
,
,
, j = 1, 2.
Безпосередньо перевіряється, що
функція Коші
(11)
Введемо до розгляду функції
,
,
–
,
– –
.
Безпосередньо перевіряється, що
функція Коші
´
´ (12)
За
функцію Коші може служити функція
´
´ (13)
Крайова умова в точці r = 0 та умови
спряження (8) для визначення величин Ak (k = 1, 2) та Bj (j = ) дають неоднорідну алгебраїчну системи з п’яти
рівнянь:
,
,
,
, (14)
.
У системі (14) беруть участь
функції:
–
– ,
–
– ,
, j, k = 1, 2.
Введемо
до розгляду функції:
Am, j(p) = D21 – D11
, j = 1,
2,
Bm, j(p) = –
,
qm, 1(r, p)
= D21 – D11
,
qm, 2(r, p)
= –
.
Припустимо, що виконана умова
однозначної розв’язності даної крайової задачі: для p = s + is з Rep = s = s0, де
s0 –
абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥)
визначник алгебраїчної системи (14)
Dm(p) º Am,
1(p) –
Am,
2(p) =
= D21(q1R0, q1R1) Bm, 1(p) – D11(q1R0, q1R1) Bm, 2(p) ¹ 0. (15)
Визначимо головні розв’язки крайової задачі (6) – (8):
1)
породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції
Гріна
,
,
; (16)
2)
породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
,
,
,
,
,
,
;
,
; (17)
,
,
,
;
3)
породжені неоднорідністю системи (6) функції впливу
,
,
,
, (18)
,
,
У результаті однозначної розв’язності
алгебраїчної системи (14) в силу умови (15), підстановки одержаних значень Ak (k = 1, 2) та Bj (j = ) у формули (9) маємо після низки елементарних
перетворень єдиний розв’язок крайової задачі (6) – (8):
+
+
+
+ +
, j =
. (19)
Визначимо головні розв’язки параболічної
задачі (1) – (4):
1) породжені
неоднорідністю системи (1) (початковими умовами (2)) функції впливу
, j, k = 1, 2, 3; (20)
2) породжені крайовою
умовою в точці r = 0 функції Гріна
, j =
; (21)
3) породжені
неоднорідністю умов спряження функції Гріна
, m, k = 1, 2, j =
. (22)
Повертаючись в рівностях
(19) до оригіналу [3], одержуємо єдиний
розв’язок параболічної задачі (1) – (4):
+
+
+ +
+ +
+ , j =
, (23)
d+(t) – дельта-функція, зосереджена в
точці t = 0+ [5].
Подамо зручну для інженерних розрахунків структуру головних
розв’язків, визначених формулами (20) – (22).
Особливими точками головних розв’язків (функцій Гріна ,
та функцій впливу
) є точки галуження p = –
(j =
) та p = ¥ [3]. Покладемо qj = i
,
³ 0, де g2 = max{
}. Тоді p = –(b 2 + g 2) º (b 2 + g 2)exp(pi), dp = –2b db.
При ,
маємо:
,
,
º
.
Безпосередньо встановлюємо:
º
,
,
, n2 = –1/2+ib2,
º
, g2(b) = cosmp + i thpb2sin mp;
º
,
+
º
º º
,
=
= º
º ,
Dm(epi(b 2 + g 2)) = ig2(b)[wm, 2(b) – ib3wm, 1(b)], wm, j(b) = d21(d)bm, 1j(b) – d11(d)bm, 2j(b).
Всі інші функції загальноприйняті [6].
В силу леми Жордана й теореми Коші [3] одержуємо:
º
º , j, k =
. (24)
У формулах (24) беруть участь функції:
, s3 = 1, (25)
,
Vm, 3(r, b) = b3wm, 1(b)cos b3(r – R2) – wm, 2(b)sin b3(r – R2), s2 = ,
W(m)(b) = b[b3(b)]–1()–1, s1 =
,
=
.
Аналогічно одержуємо, що
Wm, 1j(t, r) = , j =
, (26)
qm(b) = ,
´
´ ,
k = 1, 2, j =
. (27)
´
´ ,
(28)
Формули (23) набувають розрахункового вигляду:
uj(t, r) = + Wm, 1j(t, r)
+
+
+ +
+
+ +
+ , j =
. (29)
За відомими функціями f = {f1; f2;
f3}, g = {g1; g2; g3}, w0(t) та wjk(t) вектор-функція u(t, r) = {u1(t, r) ; u2(t, r) ; u3(t, r)} описує однозначно процес
поширення тепла в даному трискладовому середовищі з м’якими межами.
Література
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А.
Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.
2. Ленюк М.П., Шинкарик Н.И. Гибридные
интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. – 60 с. (Препринт / АН
УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики).
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.
4.
Степанов
В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
5.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй
специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
6.
Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні
інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль:
Економ. думка, 2004. – 368 с.