УДК 517.946

М.П.Ленюк, К.В.Пасюк

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

Буковинська державна фінансова академія

Моделювання нестаціонарних температурних полів у неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Фур’є-Лежандра-Фур’є на полярній вісі

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області = { (t, r): t Î (0, ¥), r Î = (0, R₁) (R₁, R₂) (R₂, ¥); R₀ ³ 0} розв’язку сепаратної системи класичних рівнянь теплопровідності параболічного та L-параболічного типу [1]

= f₁(t, r), r Î (0, R₁),

= f₂(t, r), r Î (R₁, R₂), (1)

= f₃(t, r), r Î (R₂, ¥)

за початковими умовами

u_j(t, r)|_{t = 0} = g_j(r), r Î (R_{j – 1}, R_j), j = , R₀ = 0, R₃ = ¥, (2)

крайовими умовами

= w₀(t), (3)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2. (4)

У рівностях (1) – (4) беруть участь диференціальний оператор Лежандра L_m = d²/dr² + cth r d/dr + 1/4 – m²/sh²r [2] та диференціальний оператор

, j, m = 1, 2; k = 0, 1, 2. (5)

Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , a_j > 0, m ³ 0, £ 0, ³ 0, || + ¹ 0, c_{j1, k} = , c_{11, k} c_{21, k} > 0, c_{j2, k} = = 0, = , = , º , j, k, m = 1, 2.

Припустимо, що задані та шукані функції є оригіналами Лапласа щодо змінної t [3]. У зображенні за Лапласом задачі (1) – (4) ставиться у відповідність крайова задача: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь

, r Î (0, R₁),

, r Î (R₁, R₂), (6)

, r Î (R₂, ¥)

за крайовими умовами

, (7)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2. (8)

У рівностях (6) – (8) прийняті позначення:

, , p = s + is, i² = –1;

, , ,

, , ,j, k = 1, 2,

, .

Зафіксуємо ту вітку двозначної функції , на якій Req_j > 0 для j = .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² – q²)v = 0 утворюють функції v₁ = exp(qr) та v₂ = exp(–qr) або їх лінійні комбінації chqr та shqr [4]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра (L_µ – q²)v = 0 утворюють модифіковані приєднані функції Лежандра 1-го роду та 2-го роду [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати загальний розв’язок крайової задачі (6) – (8) методом функцій Коші [4, 5]:

,

, (9)

.

Тут – функції Коші [4, 5]:

, (10)

де j₁(r) = 1, j₂(r) = (sh r)^–1, j₃(r) = 1.

Визначимо функції

º ,

º ,

,

, j = 1, 2.

Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

(11)

Введемо до розгляду функції

,

,

– ,

– – .

Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

´

´ (12)

За функцію Коші може служити функція

´

´ (13)

Крайова умова в точці r = 0 та умови спряження (8) для визначення величин A_k (k = 1, 2) та B_j (j = ) дають неоднорідну алгебраїчну системи з п’яти рівнянь:

,

,

,

, (14)

.

У системі (14) беруть участь функції:

–

– ,

–

– , , j, k = 1, 2.

Введемо до розгляду функції:

A_{m, j}(p) = D₂₁ – D₁₁, j = 1, 2,

B_{m, j}(p) = – ,

q_{m, 1}(r, p) = D₂₁ – D₁₁,

q_{m, 2}(r, p) = – .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для p = s + is з Rep = s = s₀, де s₀ – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (14)

D_m(p) º A_{m, 1}(p) – A_{m, 2}(p) =

= D₂₁(q₁R₀, q₁R₁) B_{m, 1}(p) – D₁₁(q₁R₀, q₁R₁) B_{m, 2}(p) ¹ 0. (15)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (6) – (8):

1) породжені крайовою умовою в точці r = R₀ функції Гріна

,

, ; (16)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ,

, , ;

, ; (17)

, ,

, ;

3) породжені неоднорідністю системи (6) функції впливу

,,

, , (18)

, ,

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (14) в силу умови (15), підстановки одержаних значень A_k (k = 1, 2) та B_j (j = ) у формули (9) маємо після низки елементарних перетворень єдиний розв’язок крайової задачі (6) – (8):

+ + +

+ + , j = . (19)

Визначимо головні розв’язки параболічної задачі (1) – (4):

1) породжені неоднорідністю системи (1) (початковими умовами (2)) функції впливу

, j, k = 1, 2, 3; (20)

2) породжені крайовою умовою в точці r = 0 функції Гріна

, j = ; (21)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, m, k = 1, 2, j = . (22)

Повертаючись в рівностях (19) до оригіналу [3], одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) – (4):

+ +

+ +

+ +

+ , j = , (23)

d₊(t) – дельта-функція, зосереджена в точці t = 0+ [5].

Подамо зручну для інженерних розрахунків структуру головних розв’язків, визначених формулами (20) – (22).

Особливими точками головних розв’язків (функцій Гріна , та функцій впливу ) є точки галуження p = – (j = ) та p = ¥ [3]. Покладемо q_j = i, ³ 0, де g² = max{}. Тоді p = –(b ² + g ²) º (b ² + g ²)exp(pi), dp = –2b db.

При , маємо:

,

,

º .

Безпосередньо встановлюємо:

º ,

,

, n₂ = –1/2+ib₂,

º , g₂(b) = cosmp + i thpb₂sin mp;

º ,

+ º

º º ,

=

= º

º ,

D_m(e^pi(b ² + g ²)) = ig₂(b)[w_{m, 2}(b) – ib₃w_{m, 1}(b)], w_{m, j}(b) = d₂₁(d)b_{m, 1j}(b) – d₁₁(d)b_{m, 2j}(b).

Всі інші функції загальноприйняті [6].

В силу леми Жордана й теореми Коші [3] одержуємо:

º

º , j, k = . (24)

У формулах (24) беруть участь функції:

, s₃ = 1, (25)

,

V_{m, 3}(r, b) = b₃w_{m, 1}(b)cos b₃(r – R₂) – w_{m, 2}(b)sin b₃(r – R₂), s₂ = ,

W_(m)(b) = b[b₃(b)]^–1()^–1, s₁ = ,

= .

Аналогічно одержуємо, що

W_{m, 1j}(t, r) = , j = , (26)

q_m(b) = ,

´

´ , k = 1, 2, j = . (27)

´

´ , (28)

Формули (23) набувають розрахункового вигляду:

u_j(t, r) = + W_{m, 1j}(t, r) + +

+ + +

+ +

+ , j = . (29)

За відомими функціями f = {f₁; f₂; f₃}, g = {g₁; g₂; g₃}, w₀(t) та w_jk(t) вектор-функція u(t, r) = {u₁(t, r) ; u₂(t, r) ; u₃(t, r)} описує однозначно процес поширення тепла в даному трискладовому середовищі з м’якими межами.

Література

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

2. Ленюк М.П., Шинкарик Н.И. Гибридные интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. – 60 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики).

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

6. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.