УДК 517.443

М.П.Ленюк, Г.Я.Стопень

ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ-ФУР’Є-ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ВІСІ r ³ R₀ > 0

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого на множині = {r: r Î (R₀, R₁) (R₁, R₂) (R₂, ¥), R₀ > 0} розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь Бесселя, Фур’є та Ейлера

, r Î (R₀, R₁),

, r Î (R₁, R₂), (1)

, r Î (R₂, ¥R₃)

за крайовими умовами

, (2)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2. (3)

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Бесселя

[1] Ейлера [2], 2a_j + 1 > 0 , n ³ a₁ ³ 1/2, та Фур’є d²/dr².

Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти: q_j > 0, £ 0, ³ 0, || + ¹ 0, ³ 0, ³ 0, c_1k c_2k > 0, c_jk = , j, k = 1, 2.

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ()v = 0 утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду (q₁r) та другого роду (q₁r) [1] ; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² – )v = 0 утворюють функції v₁ = chq₂r та v₂ = shq₂r [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ()v = 0 утворюють функції v₁ = та v₂ = [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати загальний розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [2, 3]:

,

, (4)

.

Тут E_j(r, r) – функції Коші [2, 3]:

, (5)

j₁(r) = , j₂(r) = 1, j₃(r) = .

Введемо до розгляду функції:

,

,

, j = 1, 2,

.

Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

(6)

Визначимо функції

, ,

, j, k =1, 2,

.

Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

(7)

Припустимо, що функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

,

.

Звідси отримуємо співвідношення:

, D₁ = . (8)

Доповнимо систему (8) алгебраїчним рівнянням:

: . (9)

Із алгебраїчної системи (8), (9) знаходимо, що

.

Цим функція Коші E₃(r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

(10)

У рівностях (9), (10) беруть участь функції:

,

,

, j = 1, 2.

Повернемося до формул (4). Крайова умова в точці r = R₀ та умови спряження (3) для визначення величин A_j (j = ) та B_k (k = 1, 2) дають неоднорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

,

,

, (11)

,

.

В алгебраїчній системі (11) беруть участь функції:

G₁₂ = + ,

G₂₃ = – + .

Визначимо функції:

D_2j(q₂R₁, q₂R₂) – D_1j(q₂R₁, q₂R₂),

= D_j1(q₂R₁, q₂R₂) – D_j2(q₂R₁, q₂R₂), j = 1, 2.

(r, q) = – ,

(r, q) = – .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3): визначник алгебраїчної системи (11)

D_{n, (a)}(q) º =

= (q₀R₁, q₁R₁)(q) – (q₁R₀, q₁R₁)(q) ¹ 0, (12)

(a) = (a₁, a₂), (q) = (q₁, q₂, q₃).

Введемо до розгляду головні розв’язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці r = R₀ функції Гріна

W_{n, (a); 11}(r, q) = [ – ], (13)

W_{n, (a); 12}(r, q) = , W_{n, (a); 13}(r, q) = ,

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

,

, (14)

, ,

, ,

,

, ;

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

,

,

,

(15)

,

,

,

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (11) в силу умови (12), підстановки обчислених значень величин A_j (j = ) та B_k (k = 1, 2) у формули (4) маємо єдиний розв’язок райової задачі (1) – (3):

u_j(r) = W_{n, (a); 1j}(r, q)g₀ + + + + , j = . (16)

Побудуємо тепер загальний розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом гібридного інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

+ , (17)

де функція q(x) – одинична функція Гевісайда [3].

Оператор M_{n, (a)} самоспряжений (як сполучення самоспряжених операторів) і має одну особливу точку r = ¥. Тому його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр b Î (0, ¥). Відповідну спектральну функцію V_{n, (a)}(r, b) = {V_{n, (a); 1}(r, b); V_{n, (a); 2}(r, b); V_{n, (a); 3}(r, b)} знайдемо як розв’язок системи диференціальних рівнянь

[]V_{n, (a); 1}(r, b) = 0, r Î (R₀, R₁),

[]V_{n, (a); 2}(r, b) = 0, r Î (R₁, R₂) (18)

[]V_{n, (a); 3}(r, b) = 0, r Î (R₂, ¥)

за крайовими умовами

, (19)

та умовами спряження

,

j, k = 1, 2. (20)

Тут b_j = (b ² + )^1/2, ³ 0, j = .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ()v = 0 утворюють функції Бесселя (b₁r) та (b₁r) [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є ()v = 0 утворюють функції v₁ = cos b₂r та v₂ = sin b₂r [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ()v = 0 - функції v₁ = та v₂ = [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє написати рівності

V_{n, (a); 1}(r, b) = A₁(b₁, r) + B₁(b₁, r),

V_{n, (a); 2}(r, b) = A₂cos b₂r + B₂sin b₂r, (21)

V_{n, (a); 3}(r, b) = A₃ + B₂.

Крайова умова в точці r = R₀ та умови спряження (20) для визначення величин A_j та B_j (j = ) дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

,

, j = 1, 2;

. (22)

Функції, які беруть участь в системі (22), загальноприйняті [4, 5].

Визначимо функції:

,

, j, k = 1, 2;

, j = 1, 2,

, j = 1, 2.

Безпосередньо перевіряється, що в результаті розв’язання системи (22) та підстановки результату в (21) маємо функції:

V_n,(a);1(r,b)=c₂₁c₂₂b₂b₃[ – ],

V_{n, (a); 2}(r, b_n) = c₂₂b₃[],

V_{n, (a); 3}(r, b_n) = w_{n, (a); 2}(b) cos (b₃ ln r) – w_{n, (a); 1}(b) sin (b₃ ln r).

Введемо до розгляду спектральну густину

W_{n, (a)}(b) = b[b₃(b)]^–1([w_{n, (a); 1}(b)]² + [w_{n, (a); 2}(b)]²)^–1

та вагову функцію

s(r) = q(r – R₀)q(R₁ – r)s ₁ + q(r – R₁)q(R₂ – r)s ₂ + q(r – R₂)s ₃,

де s₁ = c₁₁c₁₂ : c₂₁c₂₂, s₂ = c₁₂ : c₂₂, s₃ = 1.

Наявність спектральної функції V_{n, (a)}(r, b), вагової функції s(r) та спектральної густини W_{n, (a)}(b) дозволяє визначити пряме H_{n, (a)} та обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині ГДО M_{n, (a)} за правилами [4]:

, (23)

. (24)

Тут вектор-функція g(r) належить області визначення ГДО M_{n, (a)}.

Єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3), побудований за логічною схемою, викладеною в роботі [5], має структуру:

+ ´

´ +

+ +

+ +

+ + (25)

+ , j = .

У рівностях (25) беруть участь функції:

= , q² = max{},

; i, k = 1, 2; j = .

Порівнюючи розв’язки (16) та (25) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення невласних поліпараметричних інтегралів за власними елементами ГДО M_{n, (a)}:

= ; j = , (26)

= , k = 1, 2, j = , (27)

= , k = 1, 2, j = , (28)

= , j, k = , (29)

y ₁ = c₁₁ : s₁, y ₂ = c₁₂ : s₂ .

Функції Гріна W_{n, (a); 1j}(r, q) визначені формулами (13), функції Гріна визначенні формулами (14); функції впливу H_{n, (a); jk}(r, r, q) визначені формулами (15).

Підсумком викладеного вище служить твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {} неперервна на множин , а функції g_j(r) задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (12) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то мають місце формули (26) – (29) обчислення поліпарметричних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (17).

Література

1. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

5. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.