Математика/ Математическое моделирование

Академик РАН А.М. Липанов, аспирант А.Н. Семакин

Институт прикладной механики УрО РАН

Структура течения, распределение давления и температуры при обтекании сферы, расположенной в объёме с перфорированными стенками, потоком газа

1. Расчётная область.

Рассматриваемая область представляет собой куб с одним входом и двумя выходами. Длина стороны куба равна 3. Вход располагается в центре передней грани, выходы – на вертикальной оси симметрии задней грани. В центре данного куба расположена сфера. Радиус сферы – 0.5. Вход и выходы - цилиндры, радиус поперечного сечения и длина которых также равны 0.5. На вход подаётся вязкий сжимаемый газ. Параметры течения – число Рейнольдса , число Маха .

2. Метод решения.

Для решения данной задачи используется метод конечных объёмов [1].

3. Структура течения.

Всю трёхмерную область можно разделить на две части:

1. пространство, ограниченное сферой, задней гранью данного объёма и потоком газа, направленного к выходам;

2. пространство, расположенное между входящей в объём струёй газа и боковыми стенками.

В первой части за сферой располагаются два небольших вихря с осью вращения, параллельной оси (см. рис. 1.а). Что касается второй выделенной части области, то, если рассматривать поля скоростей в сечениях , при всех значениях от нижней до верхней плоскости здесь можно наблюдать вихри с осью вращения, параллельной оси . Если рассматривать сечения , то там же можно наблюдать вихри с осью вращения, параллельной оси , но их размер меняется от наибольшего около стенок до наименьшего около вертикальной плоскости симметрии, в которой данных вихрей вообще нет. На рис. 1.б для этих частей пространства приведены линии тока. Видно, что они расположены в форме спиралей.

а) б)

Рис. 1. Линии тока: а) за сферой, б) около боковых стенок

4. Распределение давления.

На рис. 2 приведены линии уровня давления в горизонтальной плоскости симметрии объёма. Давление принимает максимальное значение 2.23 в передней критической точке сферы. В задней критической точке оно равно 1.39. В пространстве между сферой и боковыми стенками величина давления меняется мало, , и резко понижается до 1 в выходах из объёма.

Рис. 2. Линии уровня давления

5. Скорость диссипации и распределение температуры.

На рис. 3 приведены линии уровня слагаемого уравнения энергии, отвечающего за скорость диссипации механической энергии, в горизонтальной плоскости симметрии объёма. Её максимум приходится на пространство около стенок внутри вдува и около поверхности сферы, где на неё наталкивается и в последующем разделяется на части набегающий поток (область III). В пространстве за сферой и около стенок в области расположения вихрей скорость диссипации практически нулевая. Это вполне логично, поскольку набегающий поток в основном тормозится при столкновении и последующем обтекании сферы, а за сферой и около стенок скорость движения газа уже достаточно мала.

На рис. 4 представлены линии уровня температуры в той же плоскости. Из данного рисунка следует, что при втекании газа в объём происходит резкое уменьшение его температуры (область I). Данное явление можно объяснить тем, что при переходе потока газа из узкой части канала в более широкую происходит расширение газа, т.е. увеличение его удельного объёма. Это означает, что газ совершает работу.

Уравнение притока тепла имеет вид:

,

где - изменение внутренней энергии, - приток тепла,

- работа внутренних поверхностных сил.

Увеличение удельного объёма означает, что .

Поэтому, если остальные слагаемые не могут компенсировать работу сил давления, то получается . Т.е. внутренняя энергия газа будет убывать, а значит будет убывать и температура.

Далее по направлению к выходной грани температура газа постепенно возрастает и в области за сферой примерно устанавливается на одном значении, что соответствует результатам для скорости диссипации механической энергии, которая в области за сферой примерно равна нулю, т.е приток тепла за счёт кинетической энергии в этой области отсутствует. В области II температура достигает своего максимального значения.

Рис. 3. Линии уровня скорости диссипации механической энергии

Рис. 4. Линии уровня температуры

Список литературы:

1. Липанов А.М. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях. //Математическое моделирование, 2006, т.18, №12, с. 3-18.