УДК 629.1.013

Нурмамбетов С.М.,к.т.н., профессор КазАТК, г Алматы, РК

Применение методов теории управления в транспортной механике

В 1906 г. Н.Л.Петров, определяя напряжения в рельсах от подвижного состава, заметил случайный характер их изменения и предложил для правильной оценки величины напряжений, использовать, наряду с методами классической механики, аппарат теории вероятностей].

Сотрудник путеиспытательной лаборатории ЦНИИ МПС П.М.Кичаев в 1930 г. для экспериментальной оценки воздействия на путь экипажа использовал нормальный закон распределения Гаусса. Более полное применение теория вероятностей в исследовании взаимодействия железнодорожного пути и подвижного состава нашла в работе О.П.Ершкова, появившейся в 1948 г. В 1951 г, путеиспытательной лабораторией ЦНИИ МПС был разработан новый способ оценки воздействия на путь подвижного состава. Основу его составил теоретико-вероятностный метод расчета вертикальных сил, предложенный М.Ф.Вериго. В этом методе вертикальная добавка от колебаний обрессоренных частей экипажей входила в расчетные формулы в качестве случайного параметра.

В 1958 г. С.С.Крепкогорский в работе представляет исследование вынужденных колебаний необрессоренных и обрессоренных масс при вероятностном характере возмущающей силы. Он использует метод решения стохастических дифференциальных уравнений, разработанный А.Н.Колмогоровым и Д.Я.Хинчиным. Этот метод позволяет определить среднеквадратичное отклонение фазовой переменной, характеризующей процесс колебаний на выходе линейной динамической системы, по заданной спектральной плотности случайного воздействия на ее входе. Метод дает возможность решить вопрос об определении оптимальных параметров рассматриваемой динамической системы, при которых величина среднеквадратического отклонения процессов на выходе системы будет минимальной. При известных статистических характеристиках на входе системы эта задача сводится к решению интегрального уравнения Винера, определяющему характеристики оптимальной передаточной или переходной функции системы. Это позволит, отмечает С.С.Крепкогорский, решить задачу не только о количественной и качественной оценках влияния динамических неровностей реального профиля пути при различных скоростях движения на величину вызываемых ими вертикальных колебаний необрессоренных и обрессоренных масс, но и даст возможность предложить рекомендации как по нормированию этих неровностей, так и по усовершенствованию и улучшению качества рессорного подвешивания подвижного состава для заданных условий эксплуатации

В 1964 г. в работе С.М.Куценко и И.П.Карпова решалась задача определения передаточной функции динамической системы подвешивания тепловоза как реакции на вертикальную составляющую вектора сил в месте контакта колеса и рельса. В качестве меры стохастического возбуждения на входе в динамическую систему принималась спектральная плотность вертикальных перемещений, скоростей или ускорений обода колеса или буксы колесной пары. Мерой качества оптимальной динамической системы являлось среднеквадратичное отклонение получающейся спектральной плотности сигнала на выходе от спектральной плотности допустимого выходного сигнала и должна отвечать требованиям: амплитуды спектра должны быть возможно малыми; частоты спектра допустимы по воздействию на организм человека и механизмы; получаемая передаточная функция должна быть физически осуществима. Рассматривалась замкнутая динамическая система. Гасить колебания нежелательной частоты авторы работы предлагали путем введения в систему подвешивания антивибраторов или специальных регуляторов в виде воздушного цилиндра с поршнем, не изменяя при этом параметры упруго-диссипативных связей самого тепловоза. В конце работы авторы делают вывод, что с помощью системы автоматического управления и регулирования можно в принципе получить любые характеристики движения подвижного состава. В 1966 г. В.А.Лазаряном, Р.Б.Грановским, В.Д.Дановичем была выполнена оптимизация параметров системы подвешивания грузовых вагонов в диапазоне рабочих скоростей с учетом их движения по детерминированным и случайным неровностям рельсового пути. В.Д.Дановичем была разработана методика выбора оптимальных параметров системы подвешивания, в которой критерием оптимальности выбрана величина, характеризующая ускорения отдельных элементов кузова, в частности, пятников. Железнодорожный экипаж рассматривался как разомкнутая динамическая система. Математическая модель включает инерционные и упруго-диссипативные характеристики системы «локомотив-путь». В качестве источника возмущений низкочастотных колебаний обрессоренных частей принимается траектория центра колесной пары, которая считается Гауссовской стационарной случайной функцией. По заданной спектральной плотности воздействия определяются статистические характеристики колебательного процесса кузова и тележки, и предлагается проводить оптимизацию параметров системы подвешивания по плавности хода или любому другому выходному показателю. В работе автора оценивается влияние характеристик экипажа и пути на возмущения, вызывающие колебания обрессоренных частей. Разработанная методика позволяет по опытным данным ускорений букс одного локомотива оценивать динамические характеристики другого с близкой осевой нагрузкой.

С помощью рассмотренных методик учёные решают задачу прогнозирования надежности виброзащитных свойств системы подвешивания железнодорожных экипажей с учетом разброса (в пределах допусков) характеристик пружин и гасителей колебаний. Влияние разброса параметров механической части и характеристик возмущения на динамические показатели исследуется, где оптимизация параметров упруго-диссипативных связей системы подвешивания выполняется методом Нелдера-Мида. Основная идея метода состоит в построении n-мерного ((n-1)) - число оптимизируемых параметров) симплекса с вычислением критерия качества в каждой из его вершин.

В 1973 г. О.П.Грапис для нахождения оптимальных параметров системы подвешивания железнодорожных экипажей использует методы сканирования, случайного поиска и наискорейшего спуска. В качестве возмущений были приняты реализации перемещений центров колесных пар. Построены поверхности дисперсий вертикальных ускорений кузова при скоростях движения 50, 90 и 130 км/ч. На основе анализа поверхностей автор считает, что основным мероприятием по снижению ускорений кузова является уменьшение жесткости системы подвешивания, так как возможности снижения ускорений путем подбора оптимальных характеристик диссипативных сил ограничены. Он предлагает регулировать параметры системы подвешивания в зависимости от скорости движения при известном спектре возмущений на данном участке пути. Жесткость системы подвешивания, по мнению автора, должна быть наименьшей. Она регламентируется габаритными размерами и условиями работы подвагонного генератора. При скоростях движения до 130 км/ч положительный эффект регулирования сопротивления в системе оказался малым (порядка 5%), поэтому автор делает вывод о нецелесообразности усложнения системы подвешивания устройством авторегулирования.

Оптимизация параметров системы подвешивания подвижного состава в некоторых работах проводилась различными методами детерминированного и случайного поиска.

Частотные методы нашли применение в работах Л.О.Грачевой и др. где рассматривалось движение вагона по случайным неровностям рельсового пути, представив его как разомкнутую систему автоматического регулирования. Предлагаются в работе структурные расчетные схемы различной сложности для исследования вынужденных колебаний вагонов. Делается анализ выбора расчетных схем и считается «оптимальной» та расчетная схема, которая наиболее проста и в то же время обеспечивает приемлемую точность результатов, то есть при выборе расчетной схемы нужно исходить из поставленной цели и основных задач исследования.

В 1967 г. была опубликована статья В.Портера «Синтез систем с оптимальной подвеской» и показывает, что такая система может быть оптимальной по некоторым качественным показателям в том диапазоне скоростей, по которому выбраны параметры подвески, но это не гарантирует, что она будет оптимальной для всего диапазона рабочих скоростей, при этом считает, что систему подвешивания можно рассматривать как управляющую функцию, которая регулирует перемещение обрессоренной массы предписанным образом. Для конструирования оптимальной подвески одномассовых систем с одной и двумя степенями свободы автор использует классическое динамическое программирование для непрерывных систем. Качество динамических процессов оценивается квадратичным функционалом, который показывает, что в течение периода неустановившегося движения требуется иметь минимальные перемещения и скорости без появления чрезмерных ускорений.

Кратко изложим теорию вопроса на примере модели рисунка 1. На рисунке обозначено: m, J_y – соответственно обрессоренная масса и ее момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс; z- перемещение центра масс относительно положения устойчивого равновесия; φ – угол поворота массы относительно поперечной оси; F, M - сила и момент сил, действующие со стороны системы подвешивания на массу при ее линейных и угловых перемещениях.

линейных и угловых перемещениях.

Запишем уравнения движения системы

или . (1.1)

Представим их в матричной форме Коши

, (1.2)

где

Ставится задача: определить структуру и параметры системы подвешивания, которые минимизировали бы квадратичный функционал качества (1.3)

, (1.3)

где P,G – матрицы весовых коэффициентов функционала.

Так как и , то функционал качества примет вид:

(1.4)

Следовательно, матрицы P и G запишутся в виде:

(1.5)

Оптимальная синтезирующая функция определяется выражением

, (1.6)

где S – неизвестная симметричная матрица, удовлетворяющая уравнению Риккати в матричной форме

. (1.7)

Вид синтезирующей функции для рассматриваемого случая:

. (1.8)

Подставим (1.8) в систему дифференциальных уравнений (1.1)

(1.9)

Пусть в системе подвешивания экипажа установлены цилиндрические пружины и гидравлические гасители колебаний с пропорциональной первой степени скорости перемещения силой сопротивления, тогда система дифференциальных уравнений свободных колебаний модели рис. 2 запишется в виде:

(1.10)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых обобщенных координатах и обобщенных скоростях в системах (1.9) и (1.10), получим аналитические зависимости для определения параметров упруго-диссипативных связей

(1.11)

Коэффициенты S_i определяются из решения системы нелинейных уравнений:

(1.12)

Как видно уравнения (1.11) в общем виде неразрешимы. Но, если положить l₁=l₂; β₁=β₂; ж₁=ж₂, то получаем:

(1.13)

В работе Б.Портера приводятся соотношения между параметрами несимметричной расчетной схемы и не вводится ограничение на структуру системы, приводящее к зависимостям (1.13). Параметры системы подвешивания легко определяются, но остается нерешенной проблема выбора весовых коэффициентов α,γ,μ. И до настоящего времени коэффициенты выбираются методом проб и ошибок или назначаются произвольно.

Рисунок 1 - Модель объекта управления с двумя

степенями свободы в методе динамического программирования

В 1977 г. учёными показаны возможность оценки состояния экипажа в условиях эксплуатации на основе теории оптимальных фильтров Калмана-Бьюси, в 1982 г. в работе - управления динамическими процессами железнодорожных экипажей по алгоритму метода динамического программирования для непрерывных стохастических систем. На основе анализа алгоритмов методов динамического программирования для детерминированных и стохастических систем и оптимальных фильтров и пришли к выводу о возможности поэтапного проектирования системы подвешивания, обосновали выбор весовых коэффициентов квадратичного функционала качества. Задача решается с учетом ограничений на динамические показатели и предложили функциональную блок-схему управляющего устройства активного управления системой подвешивания железнодорожного экипажа, в состав которой входит бортовая ЭВМ. Алгоритм управления получен на основе метода динамического программирования для стохастических систем. Улучшение динамических показателей системы предлагается получить введением магнитоуправляемых демпферов.

В нашей стране в отрасли автомобилестроения активное управление динамическими процессами внедряется намного быстрее, чем в отраслях локомотиво- и вагоностроения. В начале 1983г. опубликована работа А.В.Синева и В.С.Соловьева, в которой изложена постановка задачи разработки алгоритма управления активной виброзащитной системой (подвеской) транспортного средства от бортовой ЭВМ. При разработке алгоритма предлагается использовать элементы теории оптимального стохастического управления. Оптимальный "наблюдатель" строится в форме дискретного фильтра Калмана.

В 1982 году опубликован перевод статьи Дж.К.Хедрик, в котором приводится обзор по активным системам подвешивания зарубежного подвижного состава железных дорог. Отмечается, что отделение исследований и проектно-конструкторских разработок Управления Британских железных дорог проводит значительные работы по созданию активных систем подвешивания в сравнении с работами, осуществляемыми в этом направлении в других странах. Им проведены теоретические исследования, конструкторские разработки, лабораторные и ограниченные эксплуатационные испытания активных систем подвешивания, обеспечивающих вертикальную и поперечную "ходовую" устойчивость. Японские национальные железные дороги и фирма Hitachi разработали систему для повышения устойчивости вагонов в вертикальном и поперечном направлениях за счет использования регулируемых пневмоцилиндров. Два пневмоцилиндра устанавливаются вертикально и один поперек вагона и управляются эти пневмоцилиндра по ускорениям кузова. В системе подвешивания вагонов, кроме того, работают обычные пневморессоры. Теоретические исследования и испытания на физической модели вагона показали, что амплитуды всех видов колебаний снижаются на 50 % .

В США исследование целесообразности использования активных систем подвешивания проводила фирма Westinghouse, которая разработала теоретические основы и создала опытный образец электрогидравлической системы подвешивания для применения на высокоскоростном вагоне-лаборатории Министерства Транспорта США. Фирма General Electric (GE) изучала вопрос использования активного подвешивания для подвижного состава скоростных городских линий аналитически и в лаборатории на физической модели. Фирма GE рассматривала гидравлические и пневматические исполнительные элементы, управляемые электронными устройствами или средствами струйной автоматики.

Фирма МАN ФРГ исследовала эффективность использования активной системы подвешивания для повышения скорости движения за счет кинематической стабилизации движения подвижного состава.

Проведенные в этих странах теоретические исследования показали, что системы активного подвешивания, использующие в качестве сигнала обратной связи ускорение или абсолютную скорость, позволяют значительно улучшить ходовые качества и устойчивость железнодорожных экипажей.

Теоретические исследования проводились на динамических системах с одной степенью свободы. Схеме системы активной системы подвешивания независимо от того, рассматриваются колебания в вертикальной или горизонтальной плоскостях, соответствует рисунок 1.3. Выходной сигнал акселерометра 1 и его интеграл – абсолютная скорость - усиливаются соответствующими устройствами С_а и С_v и используются для управления исполнительным элементом 2, создающим активную силу

Теоретические исследования проводились на динамических системах с одной степенью свободы. Схеме системы активной системы подвешивания независимо от того, рассматриваются колебания в вертикальной или горизонтальной плоскостях, соответствует рисунок 3. Выходной сигнал акселерометра 1 и его интеграл – абсолютная скорость - усиливаются соответствующими устройствами С_а и С_v и используются для управления исполнительным элементом 2, создающим активную силу

. (1.14)

Дифференциальное уравнение управляемого колебательного процесса системы записывается в виде:

, (1.15)

где m – обрессоренная масса кузова;

k – жесткость системы подвешивания;

b – коэффициент сопротивления гасителей колебаний;

y_g – амплитуда неровности;

y – перемещение центра масс кузова.

В результате исследования строятся амплитудно-частотные характеристики, по которым идет отработка системы управления изменением коэффициентов усиления С_а и С_v. Коэффициенты выбираются методом простого перебора. Авторы считают оптимальным значением степени демпфирования системы ее критическое значение – 0,707.

Обзор работ зарубежных авторов сделали Р.Гудлл и V.Кортюм в 1983г. Теоретическая часть обзора свидетельствует о том, что уровень теоретических разработок остался прежним. Рассматривалась двухмассовая механическая система с двумя степенями свободы и активным демпфированием. Сила сопротивления активного демпфера пропорциональна абсолютной скорости перемещения кузова автомобиля. При активном управлении реализуется степень демпфирования, равная 0,707.

Практически реализованы в настоящее время лишь отдельные единицы активных систем подвешивания на железнодорожном транспорте поворотное устройство управляемого входа локомотива в кривые участки пути, разработанное В.Н.Кашниковым. Функция управления получена им на простой линейной модели экипажа с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина. Введение в систему подвешивания устройств активного управления обеспечивает безударный вход в кривые, что значительно (в 2 - 4 раза) снижает фактор износа рельсов.

М.Поллард разработал систему подвешивания вагона с активными элементами, работающими на электромагнитном принципе. Уровень вертикальных ускорений кузова вагона с одноступенчатой системой подвешивания снизился в 2 раза.

Опыт эксплуатации скоростных экипажей в Японии показывает, что эффективное гашение колебаний кузова при высокой скорости движения не может быть обеспечено при помощи обычных гидравлических амортизаторов. Достижения отечественных и зарубежных специалистов в области получения и всестороннего исследования высокостабильных коллоидных растворов ферромагнетиков и магниточувствительных суспензий открывают возможности для усовершенствования традиционных и разработки принципиально новых более эффективных демпфирующих устройств с регулируемыми параметрами. Конструирование эффективных устройств активного управления динамическими процессами невозможно без знания теоретических основ - законов управления. Решение общей задачи активного управления хорошо известно из теории оптимального управления, но практические результаты получены лишь для простейших моделей.

Рисунок 2 - Аналог модели объекта управления

с двумя степенями свободы

Рисунок 3 - Схема активной системы подвешивания

Объект управления и наблюдение описываются уравнениями:

(1.16)

где х₁ – вектор состояния системы;

u – вектор управления;

ℓ - шум объекта (внешнее возмущение системы);

v – белый шум наблюдения с корреляционной матрицей R_f;

y – вектор наблюдения;

А₁, В₁, Г₁, С₁ – постоянные матрицы.

Предполагается, что шум объекта является цветным и удовлетворяет уравнению

(1.17)

где w - белый шум с корреляционной матрицей Q_f.

Уравнения (1.16) и (1.17) можно представить в виде:

(1.18)

где

В качестве критерия оптимальности принимается квадратичный функционал вида

(1.19)

где Q_c, R_c - постоянные матрицы весовых коэффициентов функционала;

M - символ математического ожидания.

Закон активного управления определяется выражением:

. (1.20)

В матрицу обратной связи управления входит положительно определенная матрица Р_с, получаемая из решения нелинейного уравнения Риккати

(1.21)

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра

(1.22)

Корреляционная матрица ошибки Р_f оценки вектора состояния определяется из решения дисперсионного уравнения Риккати

(1.23)

Так как уравнения (1.21) и (1.23) не дифференциальные, то управление (1.20) пригодно только для стационарных режимов движения экипажа.

После подстановки управления (1.20) в дифференциальные уравнения (1.18) и (1.22), они принимают вид:

(1.24)

(1.25)

При решении задачи использовался квадратичный функционал качества

(1.26)

в котором принято q₁=q₃=10. Следовательно, авторами еще не решен вопрос выбора весовых коэффициентов функционала качества, но приведенные результаты математического моделирования работы активной системы подвешивания показывают ее эффективность, амплитуды перемещений и ускорений кузова снижены в два раза. В заключении авторы делают вывод о важности решения задач фильтрации и оптимального управления в системах высших порядков и считают достойным научным исследованием будущего разработку технических приемов, приводящих к уменьшению порядков систем и упрощению структуры систем подвешивания.

Работа устройств активного управления динамическими процессами связана с расходом внешней энергии. Естественно, чем лучше динамические свойства пассивной системы подвешивания, тем меньше будет расход энергии на подавление вредных колебаний. Алгоритмы проектирования стохастических систем также показывают, что активная система подвешивания будет обладать повышенной эффективностью, если управлять динамическими процессами пассивной системы подвешивания, созданной на основе методов оптимизации. Поэтому первоочередной задачей при разработке высокоскоростного транспорта является создание пассивной системы подвешивания, обеспечивающей экипажу заранее заданные динамические свойства. В настоящее время в странах СНГ и за рубежом накоплен значительный опыт проектирования пассивных систем подвешивания, реализованный в отдельных единицах подвижного состава.