Математика / 5. Математическое моделирование

Панасенко С.Н., Абракітов В.Е.

Акціонерна компанія «Харківобленерго»; Харківська національна академія міського господарства

ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ В НАПІВНАТУРНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ ШУМОВОГО РЕЖИМУ

При дослідженні шумового режиму найрізноманітніших об'єктів міського господарства, де людина піддається впливу шуму, при дослідженні шляхів його оптимізації, розробці шумозахисних заходів, визначенні їхньої ефективності та ін. важливо мати інформацію про кількісні і якісні характеристики акустичних процесів, що відбуваються [1].

Багато авторів у своїх роботах явним або неявним образом ПРОТИСТАВЛЯЮТЬ моделювання натурному експерименту. Вони пропонують найчастіше досить витончені математичні описи натурних процесів, на базі чого намагаються вгадати поводження системи при дуже скромному наборі вихідних даних. У результаті виходить значна розбіжність між результатами моделювання й натурним експериментом: припускаємо одне, маємо в реальності - зовсім інше [2, 3].

Зовсім інше подання вкладають автори у поняття "моделювання". Роль моделювання, на їхню думку, повинна зводитися до розширення, доповнення, інтерполяції даних натурного експерименту. Пояснимо це на наступному прикладі. Так, у цей момент часу ми перебуваємо в якій-небудь кімнаті (приміщенні). Щоб, наприклад, вивчити шумовий режим у ній, необхідно виміряти рівень звуку за допомогою шумоміра.

Таким чином, говорячи математично, в якійсь області S Ì Dⁿ (n = 1;2;3) існує просторове-тимчасове звукове поле, задане і описуване скалярною функцією F(`х; t), векторного просторового аргументу `х і часу t. Припустимо, що у нас є шумомір, ми вміємо працювати з ним, маємо ресурси сил, часу, і т.д. Завдання, таким зводиться лише до призначення певної кількості точок виміру. Скільки їх повинно бути? Шукаючи відповідь у нормативних документах, знаходимо лише вказівку "не менш..." - щоб уникнути можливої невірогідності, штучно обмежується нижня межа. Верхня межа не лімітується: ("чим більше точок виміру - тим краще"!) Допустимо, що ми, однак, не сильно обмежені в ресурсах сил, часу й т.п., і прагнемо виконати доручену роботу як можна якісніше, побудувати карту шуму як можна детальніше, і т.п. Ми розбиваємо досліджуваний простір сіткою квадратів і починаємо проводити дискретні виміри в точці перетинання цих умоглядних ліній. При спробі більшої деталізації, однак, ми змушені зменшувати крок сітки, призначаючи контрольні крапки, наприклад, у два рази ближче друг до друга, - (отчого їхня кількість зростає у квадратичній залежності). Чим більше точок, - тим вище якість і вірогідність! - але все-таки коли-небудь наступить межа?

Отже, головне питання при вимірюваннях: скільки саме точок контролю потребується для того, щоб побудувати картину розповсюдження шуму з достатньою точністю? При тому їх розташування в досліджуваному обсязі простору не обов'язково може бути рівномірним; отже, шукаємо варіант найбільш оптимального розміщення кінцевого числа точок, в яких вимірюються акустичні характеристики на досліджуваній ділянці, та намагаємось надати оцінку імовірнісним характеристикам просторово-тимчасових звукових полів.

Будь-які акустичні вимірювання полягають в тому, що в області S виберають n точок з координатами`х<sub>1</sub>; `х₂; `х<sub>3</sub>; ...;`х_n. Вимірюючи у цих точках реалізації звукового поля F(`x; t) і зробивши статистичну обробку результатів, знаходять оцінки математичних очікувань взаємних моментів для цих точок поля.

М[F(`х<sub>j</sub>, t)]; M[F(`х_j, t)^.F(`х<sub>k</sub>, t`)] ; М[F(`х_j, t)];

M[F(`х<sub>j</sub>, t)<sup>.</sup>F(`х_k, t`)<sup>.</sup>F(`х_l, t``)]] ;

(j,k, l,. .. = 1; 2; ... ; n)

Намагаємось визначити мінімально достатнє число місць контролю та їх розміщення в області S, необхідні для оцінки математичного очікування й взаємних моментів звукового поля F(`х, t) в усіх точках`х Î S .

Для рішення поставленого завдання використаємо розкладання фізичного поля в ряд за деякою системою детермінованих базисних функцій j_a(`х). Цю систему необхідно вибирати так, щоб майже будь-яка реалізація поля F(`х, t) могла бути апроксимована за допомогою ряду

F(`х, t)= <sub>a</sub>(t)<sup>.</sup>j<sub>a</sub>(`х), (1)

де Q_a(t) - випадкова функція часу

Розкладання (1) у загальному випадку не є стохастичним ортогональним, у силу відсутності апріорних відомостей про випадкові функції Q_a(t). Проте, виходячи із загальних міркувань про відсутність стохастичної ортогональності можемо одержати загальне вираження для математичного очікування й кореляційної функції поля F(`х, t):

М[F(`х, t)] = [Q<sub>a</sub>(t)]<sup>.</sup>j<sub>a</sub>(`х), (2)

М[F(`х, t)F(`х`, t`)]= [Q_a(t)Q_a(t`)]<sup>.</sup>j<sub>a</sub>(`х)j_b(`х)]. (3)

Якщо в співвідношенні (2) `х=`х_j (j=1;2;3... n) та удержуючи n членів ряду, одержимо відносно математичних очікувань М[Q_a(t) систему рівнянь

_jaМ[Q_a(t)] =M[F(`х_j, t)], (4)

(j=1;2;3...n).

Коефіцієнти цієї системи a_ja=j_a(`хj) утворюють квадратну матрицу А, що є аналогічною матриці Вандермонда в теорії інтерполяції [4]. Якщо визначник матриці А відмінний від нуля, то із системи рівнянь (4) можна знайти математичні очікування М[Q<sub>a</sub>(t)]. Час t при цьому будемо трактувати як параметр. Підстановка знайдених М[Q<sub>a</sub>(t)] в (2) дозволяє обчислити математичне очікування фізичного поля F(`х, t) в усіх точках `х Î S. Таким чином, необхідне число місць контролю дорівнює числу членів ряду (1), яке необхідно для задовільного наближення фізичного поля F(`х_j, t).

Вимога, щоб визначник матриці А був досить далекий від (4)], приводить до критерію для розміщення точок контролю.

|det A| ® max (5)

`х<sub>1</sub>;`х₂; `х<sub>3</sub>; ... ; `х_n.

Область S накладає деякі обмеження на координати`х<sub>1</sub>;`х₂; `х<sub>3</sub>; ... ; `х_n, за якими вираховують екстремум цільової функції.

Критерій (5), строго говорячи, не має точною змісту.

За рахунок множення кожного члену рівняння на число обумовленості визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна зробити як скіль завгодно великим, так скіль завгодно найменшим. Однак обумовленість системи не зміниться. Тому необхідно введення числа обумовленості, що є інваріантним відносно перетворень зазначеного типу.

Як величина обумовленості пропонується використовувати у векторному просторі Dⁿ для системи векторів `х<sub>1</sub>;`х₂; `х<sub>3</sub>; ... ; `х_n, визначник Грама (det `А_n), обчислення якого здійснюється за допомогою рекурентного алгоритму, розробленого на основі блочного методу вирахування визначника Шура й методу Фробеніуса. Обіг блокової матриці

k = 1, j(`x₁) ¹ 0;

`A<sub>1</sub>=H<sub>1</sub>= {j(`x₁), j(`x<sub>1</sub>)}, `A₁^-1=H₁^-1; k= 2; 3;... H_k-1¹0:

`A<sub>k</sub>=||{j(`x_i), j(`x<sub>j</sub>)}||<sub>1</sub><sup>k</sup>; D<sub>k</sub>={j(`x_k), j(`x_k)},

`b<sub>k</sub> = col[{j(`x_k), j(`x<sub>1</sub>)}, ... , {j(`x_k), j(`x_k-1)}],

`B<sub>k</sub> =`A_k^-1`b<sub>k</sub> = col[`B_k1; ...; `B_kk],

H_k=D_k- b^-T_k ¹ 0, det `A<sub>k</sub>=H<sub>k</sub>det `A_k-1= _і,

`A<sub>k</sub><sup>-1</sup> = ||`A_k-1^-1 + H_k^-1`B<sub>k</sub> b<sup>-T</sup><sub>k</sub> H<sub>k</sub><sup>-1</sup>`B_k -H_k^-1`B_k^-T H_k^-1||

Таким чином, виявлено, що мінімальна кількість контрольних точок дорівнює кількості членів ряду, які застосовуються для апроксимації звукового полю із визначеною точністю. Визначник системи рівнянь (4) не повинен дорівнювати нулю. Матриця системи рівнянь (4) повинна бути достатньо обумовленою, щоб зменшити вплив погрішності при вимірюванні характеристик поля в окремих контрольних точках.

Резюмуючи вищевказане, слід сказати, що проведені дослідження дозволяють висунути чіткі критерії щодо оптимізації кількості контрольних точок при натурних вимірах звукового полю. Розв’язання цього завдання має велике значення для прикладної акустики [6].

Література

1. Абракiтов В.Е. Роль моделювання акустичних процесiв при оптимiзацiї шумового режиму сучасного мiста. // Науковий вiсник будiвництва. Вип. 30. Харкiв: ХДТУБА ХОТВ АБУ, 2005. - Т. 2. - С. II-190 - 195.

2. В.Э. Абракитов. Натурные исследования шума г. Харькова. – Х.: Парус, 2008. – 68 с.

3. Абракитов В.Э. Проблемы моделирования в акустике и путь их решения. // Оралдық қылым жаршысы. Научно-теоретический и практический журнал. № 5(6) 2007. Қазақстан: Уралнаучкнига. – С. 8-14.

4. Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. Линейная алгебра и многомерная геометрия; 1970. - 528 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М.: Наука, 1967.

6. Абракітов В.Е. На шляху до наукових відкриттів. Монографія. Х.: Парус, 2007. – 424 с. ISBN 978-966-8482-63-2.

7. Абракітов В.Е. Багаторазові відбиття звуку в акустичних розрахунках. Монографія. Харків: ХНАМГ, 2007. - 416 с. ISBN 966-695-085-5.