Математика/5. Математическое моделирование

Агейков В.Ю.

Алтайский государственный технический университет, Россия

Разработка и применение методов теоретико-группового подхода для математического моделирования качества воды пресноводных экосистем

1. Введение

В данной работе исследованы системы дифференциальных уравнений первого порядка математических моделей озера, водохранилища и реки. Классическое определение математического моделирования в виде этапов было взято за основу структуры изложения данной работы, поскольку оно затрагивает все важные моменты приложения теоретико-группового подхода к решаемым задачам. С помощью этого подхода помимо конечного этапа идентификации можно (при современном уровне программного обеспечения) исследовать вопрос о способе решения дифференциальных уравнений с использованием классического теоретико-группового (симметрийного) анализа конечномерными группами Ли. Далее выяснилось, что и на этапе формулирования моделей имеет место манипулирование около теорем о редукции, которые лежат в основе классического симметрийного анализа. В итоге можно утверждать, что теоретико-групповой подход применим практически ко всем этапам математического моделирования.

2. Формулирование математических моделей

Пусть Х — множество, состоящее из системы обыкновенных дифференциальных уравнений количеством n и порядка p вида:

_.

Где C_i — концентрации i-веществ, F_i — функции из класса элементарных, s — независимая переменная.

Пусть Y — множество, состоящее из уравнений вида:

_.

Где c_k — константа интегрирования.

Требуется найти неизвестное отображение в рамках этапа формулирования математических моделей. Ставится задача упрощения, а не решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей.

Предполагается, что искомое отображение F состоит из двух разных по своему происхождению: H — математического преобразования (с линейными неоднородными операторами), имеющему предметное обоснование; и — z-параметрической группы Ли (с собственными операторами), допускаемой системой дифференциальных уравнений, где . Для математических моделей конкретизируются эти преобразование и группа, и выясняется, как они связаны между собой в итоговом отображении F. При этом по теореме Коши в теоретико-групповой интерпретации для этого вида уравнений локальные группы , предполагающие численный расчёт, существуют всегда.

Для первоначальных уравнений моделей были допускаемые группы: существующая (специально проверено) для системы из n=20 дифференциальных уравнений реки (только здесь p=2, откуда n×p=40); существующая (известно по виду уравнений из других исследований) для системы из n=2 дифференциальных уравнений озера; предполагаемая (далее известно, что вероятно не существующая) для системы из n=21 дифференциального уравнения водохранилища. С помощью преобразования H новые уравнения приобрели свойства, что появились новые группы: существующая (подтверждено далее) для реки (m=20); существующая (такова цель изменения коэффициентов — в итоге добавляется ещё один оператор к остающемуся прежнему) для озера (m=1 или m=2); существующая (из-за введения стехиометрического коэффициента — известно по теоремам редукции) для водохранилища (m=14). Но для рамок этапа формулирования моделей можно воспользоваться группами: (n–m=0) для реки; или (n–m=0 или n–m=1 — требуется проверка первоочерёдности применения операторов) для озера; (n–m=7) для водохранилища. Оставшиеся группы применяются для получения решения на следующем этапе моделирования. После этого для модели водохранилища совершён переход к упрощенной версии (с одним гидробионтом вместо четырёх) из системы с m=11 дифференциальных уравнений, что, кроме прикладных целей, облегчает дальнейшее их исследование.

Содержание множеств X и Y и задача поиска F в совокупности соответствуют теоремам о редукции дифференциальных уравнений, нет лишь вводного предложения о том, существует замена переменных, приводящая к редукции как порядка p, так и самих уравнений. Тогда неизвестное отображение F для математических моделей можно представить так: — для модели реки снижение порядка только за счёт ликвидации члена с малым коэффициентом; — для модели озера в качестве эксперимента заменены прежние настраиваемые коэффициенты и периоды времени на функции от новых их аналогов для получения полной редукции системы дифференциальных уравнений модели на этапе решения; , в упрощенной версии: — для модели водохранилища введён стехиометрический коэффициент, через который одни переменные связаны с другими. В итоге на этом этапе выполняются последовательно два отображения: .

3. Решение и его виды

Пусть — множество, состоящее системы обыкновенных дифференциальных уравнений количеством m вида:

_.

Пусть Z — множество равное одному из трёх подмножеств:

Где — ассоциированный с уравнениями из множества
Y^* оператор: , , , и т.д.

Если Z=Z₁, то Z представляет аналитическое решение в виде ряда (здесь — Ли) известное из теоремы Коши о существовании и единственности решения, при определённых условиях малости расчётного шага на отрезке Δs; если Z=Z₂, то Z представляет аналитическое решение с не выражающимися в конечном виде интегралами; если Z=Z₃, то Z представляет конечное аналитическое решение.

Требуется найти неизвестное отображение в рамках этапа исследования математических задач, к которым приводит математическое моделирование, то есть найти решения и все их виды для систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей.

Из теоремы Коши в теоретико-групповой интерпретации известно, что для системы обыкновенных дифференциальных уравнений из множества Y^* существует локальная m-параметрическая группа , представленная операторами V_j в подмножестве Z₁, тогда считается, что решение из этого подмножества. Далее следует прояснить вопрос о существовании аналитического решения, что равносильно вопросу о существовании m-параметрической группы . Такое решение может быть в виде формулы с интегралами, тогда оно будет из подмножества Z₂. В случае же конечного вида формулы решения — оно будет из подмножества Z₃.

Бóльшую определённость в вопросе о принадлежности решений к подмножествам дополнительно к сложной задаче поиска допускаемой группы даёт первоначальное применение более простого теста на наличие такого аналитического решения, где задача построения общего решения сводится к нахождению конечного числа частных решений. Это тест на наличие фундаментальной системы решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с условием их первого порядка. Этот вопрос не имеет отношения к допускаемой группе , но решается также при помощи теории групп. Кроме того, как правило, наличие фундаментальной системы решений приводит к формулам в конечном виде — из подмножества Z₃.

Предполагается, что искомое отображение можно представить как , потому что существует всегда, и допускается r=0. Используя теоремы о редукции дифференциальных уравнений следует найти допускаемую группу для r=m, при этом варианты не нужны из-за остающейся тогда необходимости всё равно вести численный расчёт, так как иные случаи связи переменных, например через коэффициент, используются на этапе формулирования.

Далее установлено, что для систем уравнений моделей можно использовать существующие локальные и допускаемые группы: и для реки, и для озера и только локальную группу для упрощенной версии модели водохранилища. При этом для уравнений модели реки получено аналитическое конечное решение (Z=Z₃) — только здесь положительный тест на наличие фундаментальной системы решений; для уравнений модели озера получено аналитическое решение с не выражающимся в конечном виде интегралом (Z=Z₂), требующим численного расчёта; для уравнений модели водохранилища получено аналитическое решение в виде рядов (здесь — Ли) (Z=Z₁). Тогда неизвестное отображение Y для математических моделей реки, озера и водохранилища соответственно выглядит так: , и , что вполне соответствует общему виду .

4. Настройка коэффициентов

Пусть T — множество вида:

.

Где a_ij — некоторые коэффициенты, b_i — некоторые аддитивные члены. Множество T представляет афинные преобразования для гиперплоскости, то же при b_i = 0 — линейные преобразования.

Каждое отдельное уравнение в T представляет для C_i сдвиг вместе с растяжением-сжатием. Коэффициенты a_jj влияют на растяжение-сжатие, а все остальные коэффициенты и члены только на сдвиг.

Требуется найти неизвестное отображение в рамках этапа согласования результатов наблюдений с теоретическими следствиями моделей в пределах точности наблюдений — применяя символьные (аналитические) вычисления нужно преобразовать все решения вида Z в вид T.

Решения Z поученные из допускаемых групп или рядов Ли уже являются многопараметрическими преобразованиями переводящими исходные решения в другие. Переписывая решения Z в вид T удастся выделить коэффициенты a_ij и члены b_i, влияющие определённым образом на поведение решения, что облегчит идентификацию.

Далее выяснилось, что для уравнений моделей реки и озера искомое отображение Q есть тождественное преобразование, потому что ничего не меняет между множествами Z и T, лишь происходит перезапись из вида Z в вид T, поэтому . В случае модели водохранилища необходимо использовать отображение типа H, с целью ликвидации нелинейных членов, поэтому , возможность чего подтверждается критериями Тейла. В итоге неизвестное отображение Q для математических моделей реки, озера и водохранилища в общем виде можно представить как .

Литература:

1. Цхай, А. А. Имитационная модель планктонной экосистемы Новосибирского водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования : тез. шк.-семинара. – Ростов-н/Д : Изд-во РостГУ, 1990. – С. 99-100.

2. Цхай, А. А. Математическое моделирование экосистемы проектируемого водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Приложение компьютера в гидротехнике и охрана водных ресурсов (Варна, 11-16.09.90) : тр. межд. шк. – София : БАН, 1990. – С. 428-439.

3. Tskhai, A. A. Simulation of nutrient transformation in a reservoir ecosystem / A. A. Tskhai, V. Yu. Ageikov // Hydrological, Chemical and Biological Processes of Transformation and Transport of Contaminants in Aquatic Environments. – IAHS Publ., 1994. – № 219. – P. 303-308.

4. Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстратов, К. Б. Кошелев, С. М. Шелепов, С. Л. Широкова // Математические проблемы экологии : тез. 2-й Всеросс. конф. по пробл. экологии. – Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. – С. 90-91.

5. Tskhai, A. A. Models for water monitoring and optimization of enterprise water protective activity in present-day conditions / A. A. Tskhai, V. Yu. Ageikov, K. B. Koshelev, M. A. Leites, T. V. Tskhai // International Congress "Water : Ecology and Technology" (Moscow, Sept. 6-9, 1994). – Moscow, 1994. – Vol. 4. – P. 1090-1115.

6. Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстратов, К. Б. Кошелев, С. М. Шелепов, С. Л. Широкова // Математич. проблемы экологии. – Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. – С. 57-64.

7. Цхай, А. А. Математическая модель экосистемы водохранилища : горизонтальное приближение / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Региональные проблемы информатизации : тр. научн.‑техн. конф. 20-21 апр. 1995. – Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1995. – С. 44-45.

8. Цхай, А. А. Модель для мониторинга водных экосистем / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Региональное природопользование и экологич. мониторинг (Барнаул, 27-29.09.96) : тез. докл. к республ. конф. – Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1996. – С. 206-208.

9. Агейков, В. Ю. Математическая модель для мониторинга водных экосистем / В. Ю. Агейков, Е. А. Вишнякова // Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. – Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997. – С. 10-17.

10. Цхай, А. А. Оценка чувствительности и идентификация модели водной экосистемы / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Информац. сист. в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. – Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997. – С. 139-147.

11. Цхай, А. А. Математическое моделирование процессов трансформации соединений азота и фосфора и изменчивости кислородного режима в водохранилище / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Водные ресурсы. – 1997. – Т. 24, № 6. – С. 718-728.

12. Цхай, А. А. Математическое моделирование экологического состояния водных объектов Сибири и Дальнего Востока / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Материалы первой краевой конференции по математике : тез. докл. к краевой конф. – Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1998. – С. 66.

13. Агейков, В. Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков // Ползуновский вестник. – 2002. – № 1. – С. 95-97.

14. Агейков, В. Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков // Ползуновский вестник. – 2008. – № 3. – С. 314-321.

15. Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход к этапам математического моделирования пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков // Материалы четвёртой международной научно-практической конференции "Достижения высшей школы – 2008" (17.11 – 25.11.2008). Математика. Современные информационные технологии. Физика. Здание и архитектура : тез. докл. – София : ООД "Бял ГРАД-БГ", 2008. – Т. 12. – С. 18-22.

16. Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход в применении к идентификации аналитической модели озера / В. Ю. Агейков // Материалы четвёртой международной научно-практической конференции "Образование и наука без границ – 2008" (07.12 – 15.12.2008) Математика. Физика. Современные информационные технологии : тез. докл. – Перемышль : Sp. z o.o. "Nauka I studia", 2008. – Т. 17. – С. 22-25.