Педагогические науки/2.Проблемы подготовки специалистов

К.ф.-м.н. Крыкпаева А.А.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет

им. Д.Серикбаева, Казахстан

Как научиться решать пределы

Настоящая статья посвящена понятию предела, которое справедливо считается самым трудным в школьной программе. Однако, личный опыт показывает, что большинство школьников могут справиться с этой задачей.

Во-первых, предлагается набор подготовительных задач. Решение их необходимо для понимания основных определений и теорем.

Например. 1. Триста человек построены в 30 шеренг и 10 рядов. Из каждой шеренги выбрали самого высокого человека, а из этих 30 человек выбрали самого низкого. Потом из каждого ряда выбрали самого низкого, а из этих 10 человек - самого высокого. Кто окажется выше: самый высокий из низких или самый низкий из высоких?

2.Какие из следующих теорем верны?

а) Если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

б) Если каждое слагаемое не делится на 7, то и сумма не делится на 7.

в) Если хотя бы одно слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

г) Если сумма делится на 7, то и каждое слагаемое делится на 7.

д) Если сумма не делится на 7, то и каждое слагаемое не делится на 7.

Е) Если сумма не делится на 7, то хотя бы одно слагаемое не делится на 7.

Задачи этой подготовительной группы составляют основу всей работы по усвоению пределов. Задачами второй группы не являются обязательными. Некоторые из них служат иллюстрациями различных теорем, другие полезны для развития и тренировки логичекого мышления, третьи просто красивые задачи, решение которых доставляет удолвольствие.

Например.3. а) Докажите что если при , то любой отрезок центром в точке является ловушкой для последовательности .

б) Верно ли обратное утверждение.

4. Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

а)

б) 1;1;1;.....1;...

в)

5. Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?

Наконец, третью группу составляют более трудные задачи. Эти задачи рассчитаны на более высокую логическую подготовку и свободное владение основными понятиями.

Например.6. Имеется неограниченное количество одинаковых кирпичей в форме прямоугольного параллелепипеда. Кирпичи кладутся друг га друга с некоторым сдвигом так, чтобы они не падали. Какой длины «крышу» можно таким образом получить?

7. Улитка ползет по линиям клетчатой бумаги, передвигаясь за первый шаг на одну клетку вправо, за второй – на одну клетку вверх, за третий- на одну клетку вправо, за четвертый – на одну клетку вверх и т.д. Вторая улитка сидит на месте и наблюдает за первой в подзорную трубу. Будет ли направление подзорной трубы стремиться к пределу, если первая улитка будет продолжать двигаться описанным образом?

Те, кто хочет овладеть теорией пределов в рамках школьной программы, могут ограничиться решением задач первой группы. Проверкой будут служить контрольные задачи типа:

Известно, что последовательность стремится к нулю.

а) Могут ли в этой последовательности быть члены, большие 1000000?

б) Могут ли все члены последовательности быть ограниченными?

В) Могут ли все члены последовательности большие 0,000001?

Как лучше всего работать? Начать лучше с подготовительных задач. Решите несколько из них и сравните полученные результаты с приведенными ответами. Потом прочитайте подготовленные решения. Это полезно сделать даже в том случае, если задача не вызвала затруднения, так как в решениях часто сообщаются полезные дополнительные сведения, а иногда ставятся новые вопросы.

Если задача не получается, несмотря на ряд попыток, загляните в раздел (тоже заранее подготовленный) «Ответы и указания», а если и после этого вы не сможете решить задачу, прочитайте решение.

После того как вы справитесь с большинством подготовительных задач, переходите к следующим группам задач.

Естественно, перед изучением началом любой новой темы, необходимо внимательно прочитать определение и весь материал, связанный с ним.

Задачи, отмеченные звездочкой (таковые есть), при первом чтении лучше пропустить. Вы вернетесь к ним позже, освоившись с понятием предела и научившись решать более простые задачи.

К подготовительным задачам нужно относится задачам не пренебрежительно. На первый взгляд эти задачи не имеют никакого отношения к теме «Пределы». Действительно, понятие предела в них не встречается. Цель этих задач – приучить вас к логическому мышлению, к точному выражению своей мысли, к аккуратным формулировкам. Большинство подготовительных задач легко решается, если вы ясно представляете, что дано и что требуется доказать. Чтобы лучше это сделать - решать много задач , « хороших и разных».

Литература

1.Кириллов А.А. Пределы. Издательство «Наука», Москва.