Карачун В.В., Мельник В.Н.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ДИНАМИКА ПОРИСТОЙ ПРЕГРАДЫ

Механизм прохождения звуковой волны давления через пористую пластину рассмотрим с позиций обратной задачи динамики – при известном силовом акустическом нагружении установим закономерность ее изгибного движения.

Прохождение звука через пористое ограждение впервые было рассмотрено Рэлеем (Rayleigh, Джон Уильям Стретт, Strutt), а затем Дрейзеном.

Рассмотрим прохождение плоской звуковой волны давления через пористую пластину при произвольном угле падения .

Некоторые замечания о параметрах пластины. По современным представлениям акустические свойства пористого материала с неподвижным скелетом характеризуется тремя величинами – пористостью , воздушным сопротивлением и структурным фактором . Пористость определяется отношением объема пор к общему объему пластины. Воздушное сопротивление зависит от вязкости воздуха (для стационарного потока равно отношению градиента давления к объемной скорости). Фактор вводится главным образом для характеристики структуры материала. Предусмотрены два определения величины в зависимости от того, имеет ли материал поры в виде прямолинейных каналов, наклоненных относительно нормали к поверхности пластины, или же материал обладает структурой, при которой помимо прямолинейных пор, есть и боковые замкнутые полости, в которых воздух остается практически в покое даже при наличии градиента давления (рис. 1).

В первом случае . Причем, при хаотической ориентации прямолинейных пор . Во втором случае приближенно равно отношению всего объема воздуха в порах к объему воздуха в сквозных порах. По опытным данным величина находится обычно в интервале 3…7.

Для определения воздушного сопротивления , в случае малых диаметров пор и не слишком высоких частот, можно воспользоваться законом Пуазейля (Poiseuille) и считать что Гсм с, где коэффициент динамической вязкости воздуха, радиус пор.

Предполагая хаотическое расположение пор в материале пластины, считаем ее изотропной по структуре. Это ограничение может быть снято, если движение анизотропного скелета приближенно описывается уравнениями движения изотропного тела.

При колебаниях пластины возникают силы взаимодействия между скелетом и воздухом в порах. Поэтому, необходимо оговорить структуру пор, т.е. установить – закрыты они с одной стороны или сквозные. Это обстоятельство принимается во внимание не только при постановке граничных условий, но и в уравнениях движения в виде сил трения по поверхности пор при взаимодействии скелета и воздуха в порах, а также в виде давления на поры, закрытые по поверхности пластины.

Поры открыты со стороны падающей волны. Уравнение (1) описывает движение скелета пластины, а уравнение (6.23) – движение воздуха в порах жесткого скелета –

; (1)

, (2)

где индекс «ск» ставится у величин, относящихся к скелету, индекс «в» – относящихся к воздуху; смещение скелета; колебательная скорость скелета; колебательная скорость воздуха в порах в направлении оси ; звуковое давление в воздухе, заключенном в порах; плотность материала скелета (масса скелета на единицу объема пластины); плотность воздуха в пластине (масса воздуха в порах в единице объема пластины); , плотность свободного воздуха; цилиндрическая жесткость пластины на изгиб; коэффициент потерь скелета; модуль упругости воздуха; сила взаимодействия между скелетом и воздухом в порах, отнесенная к единице объема пластины, при разности равной единице; давления в падающей, отраженной и прошедшей волнах соответственно; .

Правая часть уравнения (1) представляет собой силовые факторы, действующие на пластину. Так, первое слагаемое отображает звуковое давление на лицевой поверхности пластины, второе слагаемое звуковое давление на теневой стороне пластины (давление в прошедшей волне), третье слагаемое давление воздуха в порах на закрытые части пор, расположенные на теневой стороне пластины, четвертое слагаемое определяет давление воздуха в порах на скелет.

Если к уравнениям (1), (2) добавить уравнение непрерывности воздуха в порах

, (3)

то система (1), (2) замкнется.

Задавая звуковое давление в виде , можем заменить в уравнениях (2), (3) операцию дифференцирования сомножителем и записать их в

виде

; (4)

. (5)

Исключив из этих уравнений , получим обыкновенные дифференциальные уравнения относительно колебательной скорости воздуха

, (6)

где .

Решение полученного уравнения имеет вид:

. (7)

Подставляя (7) в (5) получаем –

. (8)

Произвольные постоянные и находится из граничных условий для воздуха в порах

; .

Таким образом,

;

и выражения (7), (8)в окончательном виде можно записать так:

;

.

Теперь можно перейти к решению уравнения (1), предварительно подставив в него найденные значения и . С учетом граничных условий для скелета, вытекающих из требований сплошности на границе двух сред (равенства колебательной скорости пластины и нормальной составляющей скорости звуковой волны), запишем –

; . (9)

Тогда уравнения (1) примет вид:

. (10)

Решение этого уравнения определяется выражением –

,

где ; ;

- полная масса

пластины; ;

; ;

;

; ; ;

; ; ;

, отличаются от , только величинами , . Заметим, что на высоких частотах при <0,25, с ошибкой не более 5%, можно считать , .

Выражение (10) удобней представить в виде функции амплитуды падающей волны звукового давления . Для этого воспользуемся понятием коэффициента прохождения и коэффициента отражения звука. Из условий (9) находим, что

,

где ; ; ; - фазовая скорость распространения изгибных волн в пластине.

С учетом сказанного, закономерность изгибных колебаний пористой пластины под действием акустического излучения можно представить в виде:

, (11)

где ; ; ; ; ; .