О структуре множества стратегий, оптимальных по критерию Вальда-Сэвиджа, и финансовое приложение

УДК 519.832.3 Экономические науки/ 8. Математические методы в экономике

Проф. Лабскер Л.Г., доц. Ященко Н.А., аспирант Амелина А.В.

ФГОБУ ВПО

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», Москва, Россия

О структуре множества стратегий,

оптимальных по критерию Вальда-Сэвиджа,

и финансовое приложение

1. Пусть в игре с природой [1] игрок обладает стратегиями , , множество которых обозначим [1]⁾, а природа может находиться в одном из своих состояний , . Пусть



A=						и R=

- матрицы соответственно выигрышей и рисков игрока , где риски определяются следующим образом: ; а ,, - показатель благоприятности состояния [1]. Пусть - произвольное непустое подмножество множества : Ø.

Напомним основные компоненты, определяющие критерии Вальда и Сэвиджа.

По критерию Вальда (-критерию) [1]: - показатель (-показатель) эффективности стратегии , ; -цена (-цена) игры в стратегиях множества ; стратегия называется оптимальной (-оптимальной) во множестве , если и ; - множество стратегий, -оптимальных во множестве .

По критерию Сэвиджа (-критерию) ([2], [1]): - показатель (-показатель) неэффективности стратегии , ; -цена (-цена) игры в стратегиях множества ; стратегия называется оптимальной (-оптимальной) во множестве , если и ; - множество стратегий, -оптимальных во множестве .

Далее в качестве множества при надобности будут рассматриваться множество чистых стратегий; множество стратегий, -оптимальных во множестве ; множество стратегий, -оптимальных во множестве . Тогда и являются множествами стратегий соответственно -оптимальных во множестве и -оптимальных во множестве .

Из приведенных определений явствует, что критерии Вальда и Сэвиджа (относительно соотвественно выигрышей и рисков) являются критериями крайнего пессимизма, поскольку ориентируют игрока при выборе им стратегии на то, что природа будет находиться в наихудшем для него состоянии, т.е. ориентируют его на наименьший выигрыш по критерию

Вальда и на наибольший риск по критерию Сэвиджа.

Можно доказать, предъявив соответствующий пример, что критерии Вальда и Сэвиджа между собой не сравнимы, т. е. ни одно из множеств

и не является подмножеством другого.

2. В [3] сконструирован новый синтетический критерий, названный критерием Вальда-Сэвиджа, позволяющий подойти к проблеме выбора стратегии с синтетической (совместной) точки зрения выигрышей и игровых рисков. Для его определения введем в рассмотрение выигрыш-показатель и риск-показатель степени предпочтения, отдаваемого игроком соответственно выигрышам и рискам. Выбор игроком значения выигрыш-показателя является субъективным и связан с психологическими особенностями игрока , определяющими его отношение к выигрышам и рискам.

Основными составляющими критерия Вальда-Сэвиджа с выигрыш-показателем (-критерия) являются: , , , - показатель (-показатель) эффективности стратегии ; - цена (-цена) игры в чистых стратегиях; стратегию назовем оптимальной (-оптимальной) во множестве чистых стратегий, если ; - множество стратегий, -оптимальных во множестве чистых стратегий.

При и критерий Вальда-Сэвиджа превращается соответственно в критерий, «противоположный» критерию Сэвиджа, и в критерий Вальда.

Поскольку критерии Вальда и Сэвиджа крайне пессимистические с точки зрения соответственно выигрышей и рисков, то и критерий Вальда-Сэвиджа является крайне пессимистическим, но с совместной позиции выигрышей и рисков.

Отметим, что критерий Вальда-Сэвиджа по смысловому содержанию

принципиально отличается от критерия Гурвица относительно выигрышей ([4], [1]) и критерия Гурвица относительно рисков [1].

О структуре множества стратегий, оптимальных во множестве по критерию Вальда-Сэвиджа с выигрыш-показателем в [3] анонсирована следующая теорема.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы множество стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда-Сэвиджа с любым выигрыш-показателем , совпадало с множеством стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий и по критерию Вальда, и по критерию Сэвиджа, необходимо и достаточно, чтобы последнее множество было непустым, т.е. равенство , , эквивалентно условию

Ø. (1)

В связи с теоремой 1 возникает вопрос о структуре множества в случае невыполнения условия (1), т.е. выполнения условия

Ø. (2)

Цель настоящего сообщения – ответить (при некоторых условиях) на поставленный вопрос и полученный результат проиллюстрировать на примере решения задачи оптимального выбора банком потенциального корпоративного заемщика.

Пусть

. (3)

Можно доказать, что при условии (2) справедливо неравенство .

Т е о р е м а 2. Пусть в игре с природой не существует стратегии, оптимальной во множестве чистых стратегий и по критерию Вальда, и по критерию Сэвиджа ( т.е. выполняется условие (2)), и пусть для каждой стратегии , не являющейся оптимальной во множестве чистых стратегий ни по критерию Вальда, ни по критерию Сэвиджа, выполняется неравенство

. (4)

Тогда множество стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда-Сэвиджа, в зависимости от значений выигрыш-показателя имеет следующую структуру

, при ,

, при , ( 5)

, при ,

, при .

Для практического использования теоремы 2 удобно пользоваться следующим алгоритмом.

А л г о р и т м.

1. Сформировать матрицу A выигрышей игрока ;

2. По выигрышам матрицы A найти показатели эффективности

стратегий , , по критерию Вальда;

3. По найденным в п. 2 показателям найти цену игры во множестве чистых стратегий по критерию Вальда;

4. Найти, используя пп. 2 и 3 множество стратегий,

оптимальных во множестве по критерию Вальда;

5. Используя матрицу A, сформировать матрицу рисков R;

6. По рискам матрицы R найти показатели неэффективности стратегий ,, по критерию Сэвиджа;

7. По найденным в п. 6 показателям найти цену игры во

множестве чистых стратегий;

8. Используя пп. 6 и 7, найти множество стратегий, оптимальных во множестве по критерию Сэвиджа;

9. Проверить, используя пп. 4 и 8 выполнимость условия (2).

Если условие (2) не выполняется, то выполняется условие (1) и тогда на основании теоремы 1 множество стратегий, оптимальных в чистых стратегиях по критерию Вальда-Сэвиджа, имеет следующую структуру

, при ;

, при .

Если условие (2) выполняется, то перейти к следующему пункту;

10. На основании пп. 4 и 6 найти цену игры в стратегиях множества по критерию Сэвиджа;

11. На основании пп. 8 и 3 найти цену игры в стратегиях множества по критерию Вальда;

12. На основании пп. 4 и 8 найти множество стратегий

, т.е. множество \;

13. Для каждой стратегии , используя пп. 3, 7, 10 и 11, проверить выполнимость неравенства (4).

Если хотя бы для одной из стратегий неравенство (4) не выполняется, то алгоритм приостанавливается и о структуре множества ничего определенного сказать нельзя.

Если же для каждой стратегии неравенство (4) имеет место, то перейти к следующему пункту;

14. Используя пп. 8 и 3, найти множество стратегий, оптимальных во множестве по критерию Вальда;

15. Используя пп. 4 и 6, найти множество стратегий, оптимальных во множестве по критерию Сэвиджа;

16. Используя пп. 10, 7, 3, 11, найти по формуле (3) значение ;

17. Используя пп. 8, 14, 15, 4 и 16, найти по формуле (5) структуру множества стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда-Сэвиджа.

3. Рассмотрим приложение теоремы 2 к решению задачи об оптимальном выборе банком потенциального заемщика, реализованное по приведенному выше алгоритму.

Кредитование банком предприятий осуществляется для поддержки реального сектора экономики: пополнение оборотных средств, финансирование текущей финансово-хозяйственной деятельности, рефинансирование обязательств компании перед другими кредиторами и др.

Действующие нормативные документы практически не регламентируют процесс оценки кредитоспособности банковских заемщиков, перенося всю ответственность за принятие решения об адекватной оценке риска ссуды на кредитную организацию. Поэтому предотвращение невозврата, или по крайней мере уменьшение риска невозврата кредитов является важнейшей задачей кредитного отдела банка.

Для более детального анализа проблемы полезным оказывается использование математического моделирования. Поскольку банк должен принимать решения о кредитовании в неблагоприятных условиях неопределенности, целесообразно в качестве математической модели использовать «Игру с природой», в которой оптимальность стратегий будем определять пессимистическим критерием Вальда-Сэвиджа.

Для конкретизации задачи решение проведем на примере 7 потенциальных заемщиков горнодобывающей и металлургической промышленности: ОАО ХК «Якутуголь» (ЯУ), ОАО «Лебединский горно-обогатительный комбинат» (ЛГОК), ОАО «Михайловский горно-обогатительный комбинат» (МГОК), ОАО «Уральская Сталь» (УС), ОАО «Оскольский электрометаллургический комбинат» (ОЭМК), ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат» (ММК), ОАО «Северсталь» (СС).

В реализационной структуре данной конкретной задачи игроком является кредитный отдел банка, обладающий 7 стратегиями , состоящими в кредитовании соответственно перечисленных выше предприятий, природа, в качестве которой рассматривается ситуация на кредитном рынке, может пребывать в одном из 5 состояний ,,,, , представляющих собой даты ежеквартальной финансовой отчетности предприятий по состоянию соответственно на 30.09.2009 г., 31.12.2009 г., 31.03.2010 г., 30.06.2010 г., 30.09.2010 г.

Моделировать предпочтения банка при выборе предприятия в качестве потенциального объекта кредитования в условиях неопределенности можно с точки зрения нормы прибыли этого предприятия. Поэтому в качестве выигрышей игрока будем использовать показатель «Чистая прибыль за квартал, в млн. руб.» по состоянию на указанные даты в отчетах о прибылях и убытках (форма №2 по ОКУД), содержащихся на официальных сайтах предприятий ЯУ [7], ЛГОК [8], МГОК [9], УС [10], ОЭМК [11], ММК [12], СС [13]. Таким образом, получаем матрицу выигрышей

IIIкв.2009	IVкв.2009	Iкв.2010	IIкв.2010	IIIкв.2010
1336	685	1324	2725	2464	685
1732	581	3140	6114	6665	581
786	1158	2173	5365	-7202	-7202
513	84	137	210	-872	-872	(6)
1855	787	2308	567	1752	567
7194	7478	6310	677	8194	677
12210	-7309	8404	5027	5820	-7309
12210	7478	8404	6114	8194

В последней строке и в последнем столбце матрицы (6) проставлены соответственно показатели благоприятности состояний природы , , и -показатели эффективности стратегий , . Матрица рисков, порождаемая матрицей выигрышей (6), имеет вид (7). В последнем столбце матрицы (7) проставлены показатели неэффективности стратегий , .

IIIкв.2009	IVкв.2009	Iкв.2010	IIкв.2010	IIIкв.2010
10874	6793	7080	3389	5730	10874
10478	6897	5264	0	1529	10478
11424	6320	6231	749	15396	15396	(7)
11697	7394	8267	5904	9066	11697
10355	6691	6096	5547	6442	10355
5016	0	2094	5437	0	5437
0	14787	0	1087	2374	14787

По алгоритму уже реализованы п. 1 (матрица (6)), п.2 (последний столбец матрицы (6)), п.3 (). Пункт 4: из матрицы (6) видно, что . Реализованы п.5 (матрица (7)), п.6 (последний столбец матрицы (7)). Пункт 7: из матрицы (7) видим, что . Пункт 8: из матрицы (7) заключаем, что . Пункт 9: Ø, т.е. условие (2) выполняется. Пункт 10: из последнего столбца матрицы (7) для стратегии находим . Пункт 11: из последнего столбца матрицы (6) для стратегиинаходим.Пункт 12: очевидно, что , . Пункт 13: Для каждой из стратегий , проверим выполнимость неравенства (4). Используя найденные значения ,

, и , вычислим значение правой части неравенства (4) (независящей от стратегий ):

Для левой части неравенства (4) имеем: , . Используя значения и , , из последних столбцов соответственно матриц (6) и (7), подсчитаем значения левой части неравенства (4) для стратегий . Расчеты сведены в следующую таблицу.

Стра- теги	5437	8	Левая часть неравен-ства (4) 5437- - 8	Соотноше-ние между левой и правой частями неравен-ства (4)	Правая часть неравен- ства (4)
	5437 ∙ 581 = 3158897	8 ∙ 10478 = 83824	3075073		3637353
	5437 ∙ (-7202)0	8 ∙ 153960	0		3637353
	5437 ∙ (-872)0	8 ∙ 116970	0		3637353
	5437 ∙ 567 = 3082779	8 ∙ 10355 = 82840	2999939		3637353
	5437 ∙ (-7309)0	8 ∙ 147870	0		3637353

Из данной таблицы заключаем, что каждая из стратегий , удовлетворяет неравенству (4). Пункт 14: очевидно, что . Пункт 15: также очевидно, что . Пункт 16: по формуле (3) находим . Пункт 17: по формуле (5) структура множества стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда-Сэвиджа, будет иметь следующий вид

, при ,

Литература.

1. Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения (Монография).- М.: КноРус, 2008 (последующие издания 2009, 2010).- 742 с.

2. Savage L.J. (Сэвидж Леонард Джими). The theory of statistical decision // J. Amer. Statist. Assoc., 1951, vol. 46, No 1, pp. 55-67.

3. Лабскер Л.Г., Амелина А.В. Приоритетная последовательность выбора корпоративного заемщика банка на основе синтетического критерия Вальда-Сэвиджа // Тезисы докладов на III Международной научно-практической конференции “Современные проблемы моделирования социально-экономических систем” (г. Харьков, 7-9 апреля 2011 г.), с. 185-187.

4. Hurwicz L. (Гурвиц Леонид). Optimality Criteria for Decision Making under Ignorance // Colwes commission papers, 1951, No 370/

5. www.yakutugol.ru

6. www.metallinvest.ru/rus/factorys/gornorydnii-divizion/lebedinskii-gok

7. www.metallinvest.ru/rus/factorys/gornorydnii-divizion/mgok

8. www.metallinvest.ru/rus/factorys/metallyrgiceskii-divizion/yral_skaa-stal_

9. http://metalloinvest.com/rus/factorys/metallyrgiceskii-divizion/oemk

10. www.mmk.ru

11. www.severstal.com

[1]⁾ Буква c в верхнем индексе обозначения S^c- первая буква английского clear – чистый. Стратегии множества S^c называют чистыми, в отличие от смешанных стратегий, которые в данной статье не рассматриваются.